تبدیل کرنش

به یاد آورید که $𝝐 = \frac{1}{2} (𝐮 \nabla + (𝐮 \nabla)^{T}) .$ یا $𝝐 = \frac{1}{2} ([\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x_{1}} & \frac{\partial}{\partial x_{2}} & \frac{\partial}{\partial x_{3}} \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{3}} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{matrix}])$

برای بیان مؤلفه‌های کرنش در یک دستگاه مختصات جدید، باید هم جابجایی $𝐮$ و هم $\nabla$ را در دستگاه مختصات جدید بیان کنیم. یعنی،

بنابراین، برای بیان بر حسب مؤلفه‌های کرنش در دستگاه مختصات قدیم، باید:

مؤلفه‌های جابجایی را در دستگاه مختصات جدید بر حسب مؤلفه‌های جابجایی در دستگاه مختصات قدیم بیان کنیم
مشتق‌گیری نسبت به یک محور مختصات جدید را بر حسب مشتق‌گیری نسبت به مختصات قدیم بیان کنیم.

تبدیل جابجایی

جابجایی یک کمیت برداری است. بنابراین، مؤلفه‌های آن در یک دستگاه مختصات جدید از تبدیل بردارها پیروی می‌کنند: یا

که در آن مؤلفه kام بردار یکه iام برای دستگاه مختصات جدید است:

تبدیل مشتقات

از قاعده زنجیره‌ای نتیجه می‌شود که

نرخ تغییر یک مختصات قدیم نسبت به یک مختصات جدید، کسینوس زاویه بین آنهاست:

بنابراین،

می‌توانیم (6) را به صورت زیر بنویسیم

و برای تمام مختصات جدید:

گرادیان در مختصات جدید

با ترکیب (1) و (6)، به دست می‌آوریم به طور جایگزین، با استفاده از نمادگذاری ماتریسی و (2) و (7)، می‌توانیم بنویسیم

قانون تبدیل برای تانسور کرنش

از آنجایی که $𝝐 = \frac{1}{2} (𝐮 \nabla + (𝐮 \nabla)^{T}),$ نتیجه می‌گیریم که این همان فرمول تبدیل برای تنش است:

حالت خاص: تبدیل دو بعدی

در دو بعد، $L = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]$

بنابراین،

این نشان می‌دهد که برای تبدیل مؤلفه‌های کرنش در یک مسئله دو بعدی، می‌توانیم از دایره مور استفاده کنیم، دقیقاً مانند تنش.

مثال: میدان جابجایی یک جسم تحت تنش به صورت زیر داده شده است
$u = 10^{- 3} (x + y)^{2} m, v = 10^{- 3} (y - z)^{2} m, w = - 10^{- 3} x z m$

تانسور کرنش را در نقطه $P (0, 1, - 2)$ بیابید.
تغییر زاویه قائمه بین $\hat{𝐚} = \frac{1}{9} (8 \hat{𝐢} - \hat{𝐣} + 4 \hat{𝐤}), \hat{𝐛} = \frac{1}{9} (4 \hat{𝐢} + 4 \hat{𝐣} - 7 \hat{𝐤})$ را محاسبه کنید.

حل

(الف) تانسور گرادیان جابجایی به صورت زیر است

با ارزیابی در $P (0, 1, - 2)$ :

$\nabla 𝐮 = 10^{- 3} [\begin{matrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 6 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix}]$

تانسور کرنش با $𝜺 = \frac{1}{2} (\nabla 𝐮 + (\nabla 𝐮)^{T})$ داده می‌شود $𝜺 = \frac{10^{- 3}}{2} ([\begin{matrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 6 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 & 0 & 2 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 \end{matrix}])$

$𝜺 = 10^{- 3} [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & - 3 \\ 1 & - 3 & 0 \end{matrix}]$

(ب) در نظر می‌گیریم ، . هر دو بردار یکه هستند.

تغییر زاویه به کرنش برشی مهندسی مربوط است:

برای محاسبه ، $𝝐$ را به پایه می‌چرخانیم، که در آن

ماتریس تبدیل به صورت زیر است

تانسور کرنش در این پایه چرخیده به صورت زیر است

بنابراین،

$Δ θ = 2 \times 0.9877 \times 10^{- 3} = 1.9753 \times 10^{- 3}$