کشش تکمحوری

یک مسئله تنش صفحه‌ای دو بعدی را در نظر بگیرید که شامل یک تیر مستطیلی بلند تحت نیروهای کششی یکنواخت $p$ در هر دو انتها است، همانطور که در زیر نشان داده شده است.

این مورد را می‌توان به عنوان یک تقریب سن-ونان از یک وضعیت کلی‌تر با بارگذاری غیریکنواخت انتهایی در نظر گرفت. در این تفسیر، کشش‌های انتهایی توزیع‌شده واقعی با نیروهای یکنواخت معادل استاتیکی جایگزین می‌شوند و راه‌حل حاصل در نواحی‌ای که به اندازه کافی از انتهای بارگذاری‌شده دور باشند معتبر است.

شرایط مرزی

شرایط مرزی برای این مسئله را می‌توان به صورت زیر نوشت

$$({\sigma }_x{)}_{x=\pm L}=p,({\sigma }_y{)}_{y=\pm h}=0,({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h}=({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L}=0.$$

تابع تنش ایری

از آنجا که کشش‌های مرزی در امتداد هر لبه ثابت هستند، انتظار داریم میدان تنش یکنواخت باشد. بنابراین، می‌توانیم یک تابع تنش ایری مرتبه دوم به فرم زیر در نظر بگیریم

$$\varphi =a_{02}{y}^2.$$

از این عبارت، مولفه‌های تنش به صورت زیر به دست می‌آیند

$${\sigma }_x=2a_{02},{\sigma }_y=0,{\tau }_{xy}=0.$$

با اعمال شرط مرزی ${\sigma }_x=p$ در $x=\pm l$ داریم

$$a_{02}=\frac{p}{2}.$$ و $$\varphi =\frac{p}{2}{y}^2.$$ بنابراین، میدان تنش کامل به صورت زیر است

$${\sigma }_x=p,{\sigma }_y={\tau }_{xy}=0.$$

تمام شرایط مرزی به طور یکسان برآورده می‌شوند و این میدان یکنواخت نشان‌دهنده یک حالت کشش تک‌محوره است.

میدان جابجایی مرتبط

در ادامه، میدان جابجایی متناظر با این حالت تنش یکنواخت را تعیین می‌کنیم.
با استفاده از قانون هوک برای تنش صفحه‌ای، کرنش‌ها به صورت زیر داده می‌شوند $${\epsilon }_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)=\frac{p}{E},{\epsilon }_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)=-\frac{\nu p}{E}.$$ $${\tau }_{xy}=0$$

از روابط کرنش-جابجایی، $${\epsilon }_x=\frac{\partial u}{\partial x},{\epsilon }_y=\frac{\partial v}{\partial y},$$ شیب‌های جابجایی را به دست می‌آوریم: $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{p}{E},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\nu p}{E}.$$

انتگرال‌گیری از این عبارات نسبت به متغیرهای مربوطه نتیجه می‌دهد $$u=\frac{p}{E}x+f(y),v=-\frac{\nu p}{E}y+g(x),$$

که در آن‌ها $f(y)$ و $g(x)$ “ثابت‌های” انتگرال‌گیری هستند و از رابطه کرنش برشی تعیین خواهند شد.

تعیین $f(y)$ و $g(x)$

برای تنش صفحه‌ای، کرنش برشی به جابجایی‌ها از طریق رابطه زیر مرتبط می‌شود $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$

از آنجا که ${\tau }_{xy}=0$، قانون هوک نتیجه می‌دهد ${\gamma }_{xy}=0$ و بنابراین $$\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0.$$

جایگذاری عبارات برای u و v نتیجه می‌دهد

از آنجا که هر طرف به متغیر متفاوتی وابسته است، هر دو باید ثابت باشند:

با انتگرال‌گیری، به دست می‌آوریم $$f(y)=-cy+u_0,g(x)=cx+v_0,$$

که در آن $c$ نشان‌دهنده یک چرخش جسم صلب و $u_0,v_0$ انتقال‌های صلب در جهت‌های $x$ و $y$ هستند.

شکل نهایی میدان جابجایی

با جایگذاری این عبارات در نتایج قبلی، میدان جابجایی کامل به دست می‌آید: $$u=\frac{p}{E}x-cy+u_0,v=-\frac{\nu p}{E}y+cx+v_0.$$

ثابت‌های $c,u_0,$ و $v_0$ متناظر با حرکت جسم صلب هستند و به کرنش یا تنش کمکی نمی‌کنند. بنابراین، جابجایی‌های فیزیکی تنها تا یک انتقال و چرخش جسم صلب دلخواه تعیین می‌شوند.

برای تعیین $c,u_0$ و $v_0$، باید یک شرط اضافی اعمال کنیم. برای مثال، می‌توانیم فرض کنیم که مرکز تیر حرکت نمی‌کند: $u(0,0)=v(0,0)=0$.