روش تابع تنش

اگر مؤلفه‌های تنش را بتوان بر حسب یک تابع اسکالر منفرد ϕ(x,y) بیان کرد، آنگاه مؤلفه‌های کرنش و جابجایی متناظر نیز می‌توانند بر حسب همان تابع نوشته شوند. در نتیجه، تعداد مجهول‌ها در مسئله الاستیسیته دوبعدی به یک کاهش می‌یابد. این رویکرد که توسط جورج بیدل ایری در سال ۱۸۶۲ معرفی شد، از تابعی به نام ϕ(x,y) استفاده می‌کند که به تابع تنش ایری معروف است.

تعریف و معادلات تعادل

تابع تنش ایری، که با ϕ(x,y) نمایش داده می‌شود، به گونه‌ای تعریف می‌شود که مؤلفه‌های تنش از مشتقات جزئی مرتبه دوم آن به دست می‌آیند:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
اگر نیروهای حجمی وجود نداشته باشند.

منطق پشت شکل تابع تنش ایری

اگر یک جفت تابع f(x, y) و g(x, y) داشته باشیم که با رابطه زیر مرتبط باشند

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y},

و سپس یک تابع اسکالر

U (x, y)

بیابیم به طوری که

f = \frac{\partial U}{\partial y}, g = \frac{\partial U}{\partial x} .

از آنجا که مشتقات جزئی مختلط U برابرند (

\frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} U}{\partial y \partial x}

)، رابطه بالا به طور خودکار برقرار می‌شود. این مشاهده یک قیاس مفید برای فرمول‌بندی مسائل الاستیسیته بر حسب توابع پتانسیل فراهم می‌کند.

برای یک مسئله دوبعدی بدون نیروهای حجمی، معادلات تعادل عبارتند از
$\frac{\partial σ_{x}}{\partial x} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial y} = 0, \frac{\partial σ_{y}}{\partial y} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial x} = 0.$
از معادله اول، تابع $A (x, y)$ را معرفی می‌کنیم به طوری که
$σ_{x} = \frac{\partial A}{\partial y}, τ_{x y} = - \frac{\partial A}{\partial x},$
و از معادله دوم، تابع دیگری $B (x, y)$ به طوری که
$σ_{y} = \frac{\partial B}{\partial x}, τ_{x y} = - \frac{\partial B}{\partial y} .$
از آنجا که
$- τ_{x y} = \frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial B}{\partial y},$
توابع A و B می‌توانند از طریق یک تابع اسکالر دیگر ϕ(x, y) مرتبط شوند به طوری که
$A = \frac{\partial ϕ}{\partial y}, B = \frac{\partial ϕ}{\partial x} .$
با جایگذاری اینها در تعاریف قبلی، مؤلفه‌های تنش مستقیماً بر حسب ϕ به دست می‌آیند:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = -, \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x, \partial y} .$

بنابراین تابع اسکالر $ϕ (x, y)$ که به تابع تنش ایری معروف است، تمام مؤلفه‌های تنش درون‌صفحه‌ای را از طریق مشتقات مرتبه دوم خود تولید می‌کند.

نکته درخشان این تعریف آن است که معادلات تعادل به طور خودکار برای هر تابع

ϕ

که مشتقات مرتبه دوم پیوسته داشته باشد، برآورده می‌شوند.

جایگذاری این تعاریف در معادله تعادل اول این مطلب را نشان می‌دهد:

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}) + \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}) = \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial x \partial y^{2}} - \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial y \partial x \partial y} = 0$

معادله تعادل دوم نیز به همین ترتیب برآورده می‌شود. این یک مزیت قابل توجه است: هر میدان تنشی که از یک تابع ایری استخراج شود، تضمین می‌شود که در تعادل باشد.

سازگاری، قوانین ساختاری و معادله بای‌هارمونیک

در حالی که تعادل برآورده می‌شود، میدان کرنش حاصل نیز باید سازگار باشد، به این معنی که باید با یک تغییر شکل فیزیکی پیوسته متناظر باشد. این نیاز فیزیکی توسط معادله سازگاری کرنش بیان می‌شود:

$\frac{\partial^{2} ϵ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} ϵ_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} γ_{x y}}{\partial x \partial y}$

برای ادامه، باید کرنش‌ها را با استفاده از قانون ساختاری ماده به تنش‌ها مرتبط کنیم. برای یک ماده الاستیک خطی همسانگرد، این قانون هوک است. در اینجا باید بین دو نوع تحلیل دوبعدی تمایز قائل شویم.

استخراج معادله بای‌هارمونیک

اجازه دهید معادله حاکم بر $ϕ$ را با استفاده از تنش صفحه‌ای استخراج کنیم.¹ با جایگذاری قانون هوک در معادله سازگاری کرنش شروع می‌کنیم:
$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{x} - ν σ_{y})] + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{y} - ν σ_{x})] = \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} [\frac{τ_{x y}}{G}]$
با ضرب در $E$ و بازآرایی جملات به دست می‌آوریم:
$(\frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial x^{2}}) - ν (\frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial x^{2}}) = \frac{E}{G} \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y} = 2 (1 + ν) \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y}$
حال، تعاریف تابع تنش ایری را جایگذاری می‌کنیم ( $σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}$ ، $σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}$ ، $τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$ ):
$(\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}}) - ν (\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{2} \partial x^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}) = - 2 (1 + ν) \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
با ساده‌سازی عبارت:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
جملات شامل $ν$ در هر دو طرف حذف می‌شوند و باقی می‌ماند:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
با بازآرایی این، معادله بای‌هارمونیک مشهور به دست می‌آید:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = 0$
این معادله را می‌توان به صورت فشرده $\nabla^{4} ϕ = 0$ نوشت. نکته قابل توجه آن است که اگر همین استخراج با استفاده از قوانین ساختاری کرنش صفحه‌ای انجام شود، نتیجه دقیقاً همان معادله بای‌هارمونیک خواهد بود.

لحاظ کردن نیروهای حجمی

1. حالت خاص گرانش

جسمی را در نظر بگیرید که وزن خودش تنها نیروی حجمی وارد بر آن است. با قرار دادن محور y به صورت عمودی رو به بالا، مؤلفه‌های نیروی حجمی $B_{x} = 0$ و $B_{y} = - ρ g$ هستند. برای ارضای معادلات تعادل اصلاح‌شده، تعاریف تنش را تنظیم می‌کنیم:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + ρ g y, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + ρ g y, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
وقتی از این تعاریف در استخراج سازگاری استفاده شود، جملات اضافی $ρ g y$ حذف می‌شوند. معادله حاکم بر $ϕ$ همان معادله بای‌هارمونیک همگن، $\nabla^{4} ϕ = 0$ ، باقی می‌ماند. اثر گرانش صرفاً پس از یافتن $ϕ$ به محاسبه نهایی تنش اضافه می‌شود.

2. حالت کلی با استفاده از تابع پتانسیل

هر میدان نیروی حجمی پایستار را می‌توان با یک تابع پتانسیل $V (x, y)$ توصیف کرد که در آن $B_{x} = - \frac{\partial V}{\partial x}$ و $B_{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}$ . تعاریف کلی تنش به صورت زیر در می‌آیند:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + V, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + V$
در این حالت کلی، معادله حاکم به معادله بای‌هارمونیک ناهمگن تبدیل می‌شود:
$\nabla^{4} ϕ = - (1 - ν) \nabla^{2} V (for plane stress)$
برای کرنش صفحه‌ای، ثابت پیشرو $- (1 - 2 ν)$ است. این معادله کلی نتیجه ما را برای گرانش تأیید می‌کند، زیرا برای $V = ρ g y$ ، لاپلاسین $\nabla^{2} V$ صفر است.

روش حل چندجمله‌ای

یک استراتژی چندمنظوره برای حل معادله بای‌هارمونیک این است که فرض کنیم جواب یک چندجمله‌ای بر حسب $x$ و $y$ است. یک فرم کلی از جواب عبارت است از
$ϕ (x, y) = \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{m n} x^{m} y^{n} .$

درجه ۰ و ۱ ( $m + n \leq 1$ ): این جملات تنش صفر تولید می‌کنند و می‌توان از آنها صرف نظر کرد.
درجه ۲ و ۳ ( $m + n = 2$ یا $3$): هر چندجمله‌ای با درجه سه یا کمتر به طور خودکار معادله بای‌هارمونیک را ارضا می‌کند زیرا تمام مشتقات مرتبه چهارم آن صفر هستند. ضرایب آنها توسط شرایط مرزی مسئله تعیین می‌شوند. یک چندجمله‌ای درجه دو یک حالت تنش ثابت تولید می‌کند، در حالی که یک چندجمله‌ای درجه سه یک میدان تنش با تغییرات خطی ایجاد می‌کند.
درجه ۴ و بالاتر ( $m + n \geq 4$ ): برای این جملات، ضرایب دیگر مستقل نیستند. آنها باید به گونه‌ای انتخاب شوند که معادله بای‌هارمونیک را ارضا کنند. برای مثال، برای جمله $ϕ_{4} = a_{40} x^{4} + a_{22} x^{2} y^{2} + a_{04} y^{4}$ ، ضرایب باید قید $3 a_{40} + a_{22} + 3 c_{04} = 0$ را برآورده کنند.

مثال‌ها

1. کشش تک‌محوره
برای یک میله تحت تنش کششی یکنواخت $σ_{x} = S$ ، نیاز داریم $\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} = S$ . دو بار انتگرال‌گیری می‌دهد:
$ϕ = \frac{S}{2} y^{2}$
این چندجمله‌ای درجه دو به طور خودکار $\nabla^{4} ϕ = 0$ را ارضا می‌کند.

برای جزئیات بیشتر، لطفاً این بخش را ببینید.

2. خمش خالص یک تیر
تنش در یک تیر تحت خمش خالص $σ_{x} = - \frac{M y}{I}$ است. برای دستیابی به این تنش با تغییرات خطی، $ϕ$ باید یک تابع درجه سه باشد. فرض می‌کنیم $ϕ = C y^{3}$ . این $σ_{x} = 6 C y$ را می‌دهد. با مقایسه این با فرمول شناخته شده، در می‌یابیم که ثابت $C = - M / (6 I)$ است، بنابراین جواب عبارت است از:
$ϕ = - \frac{M}{6 I} y^{3}$