خمش ناب

اکنون روش تابع تنش ایری را برای یکی از اساسی‌ترین مسائل مکانیک جامدات به کار می‌گیریم: تعیین وضعیت تنش درون یک تیر منشوری تحت لنگر خمشی خالص. اگرچه این جواب از مکانیک مقدماتی مواد به‌خوبی شناخته شده است، استخراج آن از طریق تئوری الاستیسیته اعتبارسنجی دقیق‌تری از نتیجه ارائه می‌دهد و فرضیات دخیل را برجسته می‌کند.

یک تیر راست مستطیلی به طول $L$، ارتفاع $h$ و عرض $b$ را در نظر بگیرید. یک دستگاه مختصات با محور $x$ در امتداد محور مرکزی تیر و محور $y$ در جهت ارتفاع آن برقرار می‌کنیم. تیر ناحیه‌ای را اشغال می‌کند که با $-L/2\le x\le L/2$ و $-h/2\le y\le h/2$ تعریف می‌شود. تیر تحت یک لنگر خمشی خالص $M$ در هر دو انتها قرار دارد.

مرحله ۱: فرضیات و شرایط مرزی

پیش از جستجوی جواب، ضروری است فرضیات اولیه خود را بیان کرده و سپس دقیقاً شرایطی را که میدان تنش ما باید در تمام سطوح جسم برآورده کند، مشخص کنیم.

۱. فرض تنش صفحه‌ای

یک تیر معمول سازه‌ای است که نسبت به ابعاد مقطع خود طویل است و عرض ($b$) آن اغلب قابل مقایسه با ارتفاع ($h$) است یا به‌طور چشمگیری بزرگتر از آن نیست. به‌علاوه، تنها در صفحه $xy$ بارگذاری می‌شود. از آنجا که تیر در جهت $z$ (عرض) خیلی ضخیم نیست و هیچ نیرویی بر وجوه $z=\pm b/2$ وارد نمی‌شود، منطقاً قابل قبول است که فرض کنیم مؤلفه‌های تنش در جهت $z$ در سراسر جسم ناچیزند. بنابراین فرض می‌کنیم: $${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$$ این دقیقاً تعریف یک حالت تنش صفحه‌ای است. این فرض به ما امکان می‌دهد از چارچوب الاستیسیته دوبعدی که توسعه داده‌ایم استفاده کنیم.

۲. فرمول‌بندی شرایط مرزی

اکنون می‌توانیم شرایط روی مرزهای مدل دوبعدی خود را بیان کنیم.

• شرایط روی سطوح بالا و پایین ($y=\pm h/2$): سطوح بالا و پایین عاری از هرگونه نیروی اعمالی هستند. این بدان معناست که نمی‌تواند تنش نرمال (بدون فشار عمودی) و تنش برشی (بدون اصطکاک افقی) روی این سطوح اثر کند. $$({\sigma }_y{)}_{y=h/2}=0$$ $$({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h/2}=0$$
• شرایط روی انتهاها ($x=\pm L/2$): برآیند توزیع تنش در هر انتها باید معادل یک لنگر خالص $M$ باشد. این امر سه شرط انتگرالی متمایز را ایجاب می‌کند:
  • هیچ نیروی محوری خالص: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x{)}_{x=\pm L/2}bdy=0$$
  • هیچ نیروی برشی خالص: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L/2}\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=0$$
  • لنگر خمشی خالص: اتخاذ این قرارداد که $M$ مثبت برای کشش ایجاد می‌کند: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x{)}_{x=\pm L/2}\cdot y\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=-M$$

مرحله ۲: پیشنهاد یک فرم برای تابع تنش ایری

با مشخص شدن شرایط، اکنون به دنبال یک تابع تنش ایری $\varphi$ می‌گردیم که معادله بای‌هارمونیک ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$ را ارضا کند.

فرض کنیم ${\sigma }_y=0$ در همه جا صفر باشد، نه فقط روی مرزها. اما چرا؟ در اینجا خط استدلال آمده است:

1. می‌دانیم که از شرایط مرزی ${\sigma }_y=0$ روی سطوح بالا و پایین ($y=\pm h/2$) است.
2. هیچ نیروی حجمی (مانند گرانش) در جهت $y$ درون تیر عمل نمی‌کند.
3. هیچ مکانیزمی در این مسئله خمش خالص وجود ندارد که ایجاد تنش قائم درون تیر را ایجاب کند.
4. بنابراین می‌توانیم پیشنهاد کنیم که ساده‌ترین جواب ممکن که شرایط مرزی را ارضا می‌کند جوابی است که در آن ${\sigma }_y$ و ${\tau }_{xy}$ در همه جای داخل تیر صفر باشند، نه فقط روی سطوح.

بیایید این فرضیه را بیازماییم. اگر این حالت تنش ساده بتواند تمام شرایط مرزی باقی‌مانده را ارضا کند، آنگاه بر اساس اصل یکتایی جواب در الاستیسیته، باید جواب صحیح باشد.

ترجمه این فرضیه به شرایط روی $\varphi$:

• اگر ${\sigma }_y={\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}}=0$ در همه جا، آنگاه $\varphi$ حداکثر می‌تواند یک تابع خطی از $x$ باشد. می‌توان آن را به صورت $\varphi (x,y)=xf(y)+g(y)$ نوشت.
• اگر ${\tau }_{xy}=-{\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}}=0$ در همه جا، آنگاه مشتق فرم ما برای $\varphi$ باید صفر باشد: $-\frac{\partial }{\partial y}(f(y))=0$. این ایجاب می‌کند که $f(y)$ یک ثابت باشد.
• با ترکیب اینها، تابع ما باید به فرم $\varphi (x,y)=(\text{ثابت})\cdot x+g(y)$ باشد. اما مسئله خمش نسبت به $x=0$ متقارن است، بنابراین انتظار داریم تنش‌ها مستقل از $x$ باشند. یک تنش ثابت از جمله $x$ شرط لنگر را نقض می‌کند. ساده‌ترین فرم ممکن که فیزیک مسئله را رعایت کند این است که $\varphi$ را تنها تابعی از $y$ فرض کنیم.

بنابراین یک چندجمله‌ای بر حسب $y$ را به عنوان جواب کاندید پیشنهاد می‌کنیم: $$\varphi (y)=A{y}^3+B{y}^2+Cy+D$$ این یک چندجمله‌ای درجه سه است، پس به طور خودکار معادله بای‌هارمونیک ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$ را ارضا می‌کند.

مرحله ۳: اعمال شرایط مرزی بر جواب پیشنهادی

بیایید تنش‌ها را از $\varphi$ پیشنهادی بیابیم و ببینیم آیا می‌توانند تمام شرایط را ارضا کنند. $${\sigma }_x=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=6Ay+2B$$ $${\sigma }_y=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=0$$ $${\tau }_{xy}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=0$$ فرضیه ما بلافاصله شرایط ${\sigma }_y$ و ${\tau }_{xy}$ روی سطوح بالا و پایین را برآورده می‌کند و همچنین شرط نیروی برشی خالص صفر در انتهاها را نیز ارضا می‌کند. اکنون دو شرط انتهایی باقی‌مانده را بررسی می‌کنیم تا ثوابت A و B را بیابیم.

اعمال شرط عدم نیروی محوری: $${\int }_{-h/2}^{h/2}{\sigma }_x(bdy)={\int }_{-h/2}^{h/2}(6Ay+2B)bdy=b{[3A{y}^2+2By]}_{-h/2}^{h/2}=2Bbh=0$$ از آنجا که $b$ و $h$ غیرصفرند، این ایجاب می‌کند که B = 0 باشد.

اعمال شرط لنگر خمشی خالص: با B=0، تنش نرمال ما اکنون فقط ${\sigma }_x=6Ay$ است. $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x\cdot y)(bdy)={\int }_{-h/2}^{h/2}(6Ay\cdot y)bdy=6Ab{\int }_{-h/2}^{h/2}{y}^{2}dy=-M$$ $$6Ab{\left[\frac{y^3}{3}\right]}_{-h/2}^{h/2}=2Ab((h/2{)}^3-(-h/2{)}^3)=\frac{Ab{h}^3}{2}=-M$$ اکنون می‌توانیم برای ثابت A حل کنیم: $$A=-\frac{2M}{b{h}^3}$$ با یادآوری این که ممان اینرسی برای مقطع مستطیلی $I={\displaystyle \frac{b{h}^3}{12}}$ است، می‌توانیم A را بر حسب I بنویسیم: $$A=-\frac{2M}{12I}=-\frac{M}{6I}$$

مرحله ۴: جواب نهایی و اعتبارسنجی

ما با موفقیت تمام ضرایب را بر اساس فرضیه اولیه خود یافتیم. تابع تنش ایری برای خمش خالص عبارت است از: $$\varphi (y)=-\frac{M}{6I}{y}^3$$ از این تابع، مؤلفه‌های تنش نهایی را استخراج می‌کنیم: $${\sigma }_x=-\frac{M}{I}y$$ $${\sigma }_y=0$$ $${\tau }_{xy}=0$$ این جواب که از حدس آگاهانه ما مبنی بر صفر بودن ${\sigma }_y$ و ${\tau }_{xy}$ در همه جا به دست آمد، با موفقیت تمام شرایط مرزی مسئله را برآورده می‌کند. این امر فرضیه اولیه ما را توجیه کرده و فرمول کلاسیک خمش را که به‌طور دقیق از تئوری الاستیسیته استخراج شده است، ارائه می‌دهد.

مرحله ۳: استخراج میدان جابجایی ($u$, $v$)

برای یافتن جابجایی‌ها، باید روابط کرنش-جابجایی را با استفاده از کرنش‌های تعیین‌شده از میدان تنش خود از طریق قانون هوک برای تنش صفحه‌ای انتگرال‌گیری کنیم.

۱. یافتن کرنش‌ها: $${ϵ}_{xx}=\frac{{\sigma }_{xx}}{E}=-\frac{My}{EI}$$ $${ϵ}_{yy}=-\frac{\nu {\sigma }_{xx}}{E}=\frac{\nu My}{EI}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{{\sigma }_{xy}}{G}=0$$

۲. انتگرال‌گیری روابط کرنش-جابجایی: با ${ϵ}_{xx}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$ شروع می‌کنیم. انتگرال‌گیری نسبت به $x$ می‌دهد: $$u(x,y)=\int -\frac{My}{EI}dx=-\frac{Mxy}{EI}+f(y)$$ که $f(y)$ یک تابع دلخواه از $y$ است که به عنوان «ثابت» انتگرال‌گیری عمل می‌کند.

سپس، از ${ϵ}_{yy}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$: $$v(x,y)=\int \frac{\nu My}{EI}dy=\frac{\nu M{y}^2}{2EI}+g(x)$$ که $g(x)$ یک تابع دلخواه از $x$ است.

۳. استفاده از کرنش برشی برای جفت کردن معادلات: از رابطه نهایی ${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0$ برای یافتن توابع مجهول $f(y)$ و $g(x)$ استفاده می‌کنیم. $$\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{Mxy}{EI}+f(y))+\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\nu M{y}^2}{2EI}+g(x))=0$$ بازآرایی این معادله برای تفکیک متغیرها: سمت چپ تنها تابعی از $x$ است، در حالی که سمت راست تنها تابعی از $y$ است. تنها راهی که این تساوی برای تمام $x$ و $y$ برقرار باشد این است که هر دو سمت با یک ثابت یکسان، مثلاً $C_1$، برابر باشند.

۴. سرهم‌بندی و مقیدسازی حرکت جسم صلب: با جایگذاری اینها، میدان جابجایی عمومی عبارت است از: $$u(x,y)=\frac{Mxy}{EI}-C_{1}y+C_3$$ $$v(x,y)=-\frac{\nu M{y}^2}{2EI}-\frac{M{x}^2}{2EI}+C_{1}x+C_2$$ ثوابت $C_1,C_2,C_3$ نشان‌دهنده حرکت جسم صلب هستند. برای یافتن آنها، باید تیر را در فضا ثابت کنیم. شرط می‌گذاریم که مبدأ ($x=0,y=0$) جابجا نشود و شیب محور خنثی در مبدأ صفر باشد. * $u(0,0)=0⟹C_3=0$ * $v(0,0)=0⟹C_2=0$ * ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}{|}_{x=0,y=0}={[-{\displaystyle \frac{Mx}{EI}}+C_1]}_{x=0}=C_1=0$

هر سه ثابت صفر هستند. میدان جابجایی نهایی عبارت است از: $$u(x,y)=\frac{Mxy}{EI}$$ $$v(x,y)=-\frac{M{x}^2}{2EI}-\frac{\nu M{y}^2}{2EI}$$