A Cantilever Beam with an End Load

حالا بیایید میدان‌های تنش و تغییرمکان را در یک تیر یکسردرگیر منشوری تحت یک نیروی عرضی متمرکز تحلیل کنیم. این حالت اساساً با خمش خالص متفاوت است زیرا وجود یک نیروی عرضی مستلزم وجود یک نیروی برشی داخلی است که در طول تیر تغییر می‌کند. این برش است که منبع تغییرشکل غیرصفحه‌ای خواهد بود.

یک تیر مستقیم مستطیلی به طول $L$، ارتفاع $h$ و عرض $b$ را در نظر بگیرید. تیر در انتهای $x=0$ گیردار و در انتهای $x=L$ آزاد است. یک نیروی عمودی متمرکز $P$ به سمت پایین در انتهای آزاد وارد می‌شود.

مرحله ۱: فرضیات و شرایط مرزی

۱. فرض تنش صفحه‌ای

همانند حالت خمش خالص، تیر باریک است و بارگذاری در صفحه xy محدود شده است. بنابراین حالت تنش صفحه‌ای را فرض می‌کنیم که در آن مؤلفه‌های تنش در جهت z ناچیز هستند: $${\sigma }_{zz}={\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$$

۲. فرمول‌بندی شرایط مرزی

• سطوح بالا و پایین ($y=\pm h/2$): این سطوح عاری از هرگونه بار اعمالی هستند. $${\sigma }_y{|}_{y=\pm h/2}=0$$ $${\tau }_{xy}{|}_{y=\pm h/2}=0$$
• انتهای آزاد ($x=0$): توزیع تنش باید از نظر استاتیکی معادل یک نیروی عمودی رو به پایین $P$ باشد.
  • نیروی محوری خالص صفر: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_{xx}{)}_{x=0}\cdot \stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=0$$
  • ممان خمشی خالص صفر: گشتاور در انتهای آزاد صفر است. $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_{xx}{)}_{x=0}\cdot y\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=0$$
  • نیروی برشی خالص: نیروی عمودی برآیند باید برابر $-P$ باشد. $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_{xy}{)}_{x=0}\cdot bdy=-P$$
• انتهای گیردار ($x=L$): در اینجا تغییرمکان‌ها و دوران صفر هستند. ما بعداً هنگام یافتن میدان تغییرمکان از این شرایط استفاده خواهیم کرد.

مرحله ۲: حل با استفاده از تابع تنش ایری

از آنجایی که گشتاور خمشی $M(x)=Px$ است و از مقاومت مصالح می‌دانیم ${\sigma }_x=-{\displaystyle \frac{M(x)y}{I}}={\displaystyle \frac{Pxy}{I}}$ و ${\sigma }_x={\displaystyle \frac{{\partial }^4\varphi }{\partial y^2}}$، انتظار داریم که $\varphi$ شامل جمله‌ای به شکل $$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=cxy$$ باشد.

انتگرال‌گیری نسبت به y نتیجه می‌دهد

$$\frac{\partial \varphi }{\partial y}=\frac{1}{2}Cx{y}^2+f_1(x)$$

انتگرال‌گیری دوباره نسبت به y به دست می‌دهد

$$\varphi =\frac{1}{6}Cx{y}^3+f_1(x)y+f_2(x).$$

می‌دانیم که $\varphi$ باید ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$ یا

$$\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial y^4}=0.$$

قرار دادن $\varphi$ در معادله بالا نتیجه می‌دهد

$$f_1^{(4)}(x)y+f_2^{(4)}(x)=0$$

از آنجایی که این معادله باید برای هر مقدار y برقرار باشد، باید داشته باشیم

$$f_1^{(4)}(x)=0\text{and}{f}_2^{(4)}(x)=0$$

این بدان معناست که

$$f_1(x)=C_2{x}^3+C_3{x}^2+C_{4}x+C_5$$

$$f_2(x)=C_6{x}^3+C_7{x}^2+C_{8}x+C_9$$

و

$$\varphi (x,y)=C_{1}x{y}^3+(C_2{x}^3+C_3{x}^2+C_{4}x+C_5)y+(C_6{x}^3+C_7{x}^2+C_{8}x+C_9).$$

که در آن $C_1=\frac{1}{6}C$ است.

به یاد آورید که جملات ثابت و خطی در مؤلفه تنش نقشی ندارند، بنابراین می‌توانیم قرار دهیم

$$C_5=C_8=C_9=0$$

و

$$\varphi (x,y)=C_{1}x{y}^3+(C_2{x}^3+C_3{x}^2+C_{4}x)y+C_6{x}^3+C_7{x}^2.$$

برای تعیین ضرایب، شرایط مرزی روی سطوح بالا و پایین را اعمال می‌کنیم:

$${\sigma }_y{|}_{y=\pm h/2}={\tau }_{xy}{|}_{y=\pm h/2}=0$$ این شرایط معادلات زیر را به دست می‌دهند

از آنجایی که این معادلات باید برای هر مقدار x برقرار باشند، باید داشته باشیم:

بنابراین

$$\varphi =C_{1}x{y}^3-\frac{3C_1{h}^2}{4}xy$$

برای تعیین $C_1$، از شرط زیر استفاده می‌کنیم

$${\int }_{-h/2}^{h/2}b{\tau }_{xy}dy=-P$$

این نتیجه می‌دهد

$$b{C}_1\frac{h^3}{2}=P\Rightarrow C_1=\frac{2P}{b{h}^3}$$ از آنجایی که $I=\frac{1}{12}b{h}^3$، می‌توانیم بنویسیم

$$C_1=\frac{2P}{12\cdot \frac{b{h}^3}{12}}=\frac{P}{6I}$$

و

$$\varphi (x,y)=\frac{P}{6I}x{y}^3-\frac{3\cdot P\cdot h^2}{24I}xy.$$ $$$$

اکنون می‌توانیم به آسانی مؤلفه‌های تنش را محاسبه کنیم:

این میدان تنش تعادل و تمام شرایط مرزی روی سطوح بالا، پایین و انتهای آزاد را ارضا می‌کند.

مرحله ۳: استخراج میدان تغییرمکان ($u$، $v$)

اکنون روابط کرنش-تغییرمکان را با استفاده از میدان تنش صحیح انتگرال‌گیری می‌کنیم.

۱. یافتن کرنش‌ها (تنش صفحه‌ای)

$${ϵ}_{xx}=\frac{{\sigma }_{xx}}{E}=\frac{Pxy}{EI}$$ $${ϵ}_{yy}=-\frac{\nu {\sigma }_{xx}}{E}=-\frac{\nu Pxy}{EI}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{{\sigma }_{xy}}{G}=\frac{P}{2GI}[{\left(\frac{h}{2}\right)}^2-y^2]$$ ### ۲. انتگرال‌گیری از روابط کرنش-تغییرمکان انتگرال‌گیری از ${ϵ}_{xx}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$: $$u(x,y)=\int \frac{Pxy}{EI}dx=\frac{P{x}^{2}y}{2EI}+f(y)$$ انتگرال‌گیری از ${ϵ}_{yy}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$: $$v(x,y)=\int -\frac{\nu Pxy}{EI}dy=-\frac{\nu Px{y}^2}{2EI}+g(x)$$ با استفاده از رابطه کرنش برشی ${\gamma }_{xy}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}+{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}=0$: بازچینی برای جداسازی متغیرها: از آنجایی که سمت چپ فقط به $x$ و سمت راست فقط به $y$ بستگی دارد، هر دو باید برابر یک ثابت $k$ باشند. با حل برای $g(x)$ و $f(y)$ به دست می‌آوریم $$⟹f(y)=\nu \frac{P{y}^3}{6EI}-\frac{P{y}^3}{6GI}+\frac{P{h}^{2}y}{8GI}-ky+n.$$ بنابراین: ### ۳. اعمال شرایط مرزی انتهای گیردار

در انتهای گیردار، تیر کاملاً مقید شده است. ما اعمال می‌کنیم که مرکز سطح انتهای گیردار جابه‌جا نشود و شیب محور خنثی صفر باشد.

1. شرط ۱: جابه‌جایی افقی در انتهای گیردار صفر باشد $$u(L,0)=0⟹n=0$$
2. شرط ۲: جابه‌جایی عمودی در انتهای گیردار صفر باشد: $$v(L,0)=0⟹m=-kL-\frac{P{L}^3}{6EI}.$$ برای تعیین k به یک شرط دیگر نیاز داریم.
3. شرط ۳: دوران تیر حول انتهای گیردار صفر باشد دو گزینه داریم:
   1. شیب صفر محور خنثی در انتهای گیردار $${\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)}_{x=L,y=0}=0$$
   2. دوران صفر المان عمودی مقطع در مرکز سطح مقطع انتهایی $${\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}_{x=L,y=0}=0.$$ بیایید شرط ${\left({\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}\right)}_{x=L,y=0}=0$ را اعمال کنیم. مشتق $v$ نسبت به $x$ برابر است با: $$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\nu P{y}^2}{2EI}-\frac{P{x}^2}{2EI}+k$$ با جایگذاری 0 به جای y و L به جای x و صفر قرار دادن عبارت فوق، به دست می‌آوریم $$k=\frac{P{L}^2}{2EI}$$ و $m=-{\displaystyle \frac{P{L}^3}{2EI}}+{\displaystyle \frac{P{L}^3}{6EI}}=-{\displaystyle \frac{P{L}^3}{3EI}}$. بنابراین،

حداکثر خیز در انتهای آزاد ($x=0$) رخ می‌دهد و برابر است با ${\displaystyle \frac{P{L}^3}{3EI}}$، که نتیجه آشنای مقاومت مصالح است.

اعوجاج مقطع

یک بینش کلیدی از حل الاستیسیته این است که صفحات مقطعی که در ابتدا صاف و عمود بر محور خنثی هستند، پس از تغییرشکل، وقتی تنش‌های برشی وجود دارند، صفحه‌ای باقی نمی‌مانند. این رفتار با فرض تئوری تیر اویلر-برنولی که فرض می‌کند "صفحات مقطعی صاف می‌مانند"، در تضاد است. شکل زیر اعوجاج مقطع انتهایی حاصل را نشان می‌دهد.