رابطه بردار کشش و تانسور تنش

برای یافتن بردار کشش $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 80 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ روی یک صفحه دلخواه با بردار یکه عمود $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 81 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ ، تعادل یک چهاروجهی بینهایت کوچک را تحلیل می‌کنیم. وجه با مساحت $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 82 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ همان وجه مایل است، و تصاویر آن بر روی صفحات مختصات مساحت‌های $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 83 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ ، $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 84 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ و $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 85 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ را دارند.

از آنجایی که چهاروجهی در تعادل ایستا قرار دارد، مجموع تمام نیروها باید برابر صفر باشد. متعادل‌سازی نیروها در جهت x به دست می‌دهد: $t_{x} Δ S = σ_{x x} Δ S_{x} + σ_{y x} Δ S_{y} + σ_{z x} Δ S_{z} + ρ b_{x} Δ V$ در اینجا، جمله $t_{x} Δ S$ نیروی وارد بر وجه مایل است، جمله‌های $σ$ نیروهای روی وجوه مختصات هستند، و $ρ b_{x} Δ V$ نیروی حجمی است.

می‌توانیم از دو رابطه هندسی کلیدی استفاده کنیم:

مساحت‌های وجوه مختصات تصاویر وجه مایل هستند: $Δ S_{x} = n_{x} Δ S, Δ S_{y} = n_{y} Δ S, Δ S_{z} = n_{z} Δ S .$
حجم یک چهاروجهی برابر است با $Δ V = \frac{1}{3} h Δ S$ ، که در آن $h$ ارتفاع عمود از نقطه $P$ به وجه مایل است.

با جایگذاری این روابط در تعادل نیروها و تقسیم بر $Δ S$ ، به دست می‌آوریم: $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z} + ρ b_{x} h$

برای یافتن بردار کشش در نقطه $P$ ، ابعاد چهاروجهی را کوچک می‌کنیم. در این حد، ارتفاع $h$ به صفر میل می‌کند و جمله نیروی حجمی حذف می‌شود. این امر مؤلفه x بردار کشش را به دست می‌دهد: $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z}$

با اعمال همان منطق برای جهت‌های y و z، مؤلفه‌های دیگر را به دست می‌آوریم: این مجموعه معادلات به نام فرمول تنش کوشی شناخته می‌شود. در نماد ماتریسی، با در نظر گرفتن بردارهای کشش و نرمال به عنوان بردارهای سطری، این رابطه به صورت زیر نوشته می‌شود: $[\begin{matrix} t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} n_{x} & n_{y} & n_{z} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}] or 𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈$

همانطور که پیشتر بحث شد، بردار کشش (که به عنوان تنش نیز شناخته می‌شود) می‌تواند به دو مؤلفه تجزیه شود: (1) یک مؤلفه تنش نرمال و (2) یک مؤلفه تنش برشی.

**شکل 1** بردار کشش (که به عنوان بردار تنش نیز شناخته می‌شود) t(n) در یک نقطه P روی یک سطح داخلی به دو مؤلفه تجزیه می‌شود: یک مؤلفه تنش نرمال σn که عمود بر سطح عمل می‌کند، و یک مؤلفه تنش برشی τn که موازی سطح عمل می‌کند.

از شکل بالا مشخص است که $σ_{n} = 𝐭^{(\hat{𝐧})} \cdot \hat{𝐧}$ و بنابراین $τ_{n} = | 𝐭^{(\hat{𝐧})} - σ_{n} \hat{𝐧} |$

مثال 1.

مثال¹ یک ذره ماده در یک حالت تنش با مؤلفه‌های زیر قرار دارد: $𝝈 = [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}]$

بردار کشش را روی صفحه‌ای که محورهای x، y، z را به ترتیب در نقاط 1، 2 و 3 قطع می‌کند، محاسبه کنید.
بزرگی تنش نرمال روی آن صفحه را محاسبه کنید.
بزرگی تنش برشی روی آن صفحه را محاسبه کنید.
جهت تنش برشی روی آن صفحه را محاسبه کنید.

راه‌حل

ابتدا بردار یکه عمود بر صفحه را پیدا می‌کنیم.

معادله صفحه‌ای که محورها را در x=1، y=2، z=3 قطع می‌کند، عبارت است از: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ این صفحه بر بردار زیر عمود است: $𝐧 \propto [\begin{matrix} \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}]$

نرمال‌سازی: $𝐧 = \frac{1}{\sqrt{(1)^{2} + (1 / 2)^{2} + (1 / 3)^{2}}} [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}]$

(الف) بردار کشش روی صفحه

بردار کشش عبارت است از: $𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈 = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}]$

(ب) تنش نرمال روی صفحه

تنش نرمال تصویر $𝐭$ بر روی $𝐧$ است:

$σ_{n} = 𝐭 \cdot \hat{𝐧} = \frac{22}{7} \cdot \frac{6}{7} + \frac{33}{7} \cdot \frac{3}{7} + \frac{56}{7} \cdot \frac{2}{7} = 7$

(ج) و (د) بردار تنش برشی و بزرگی آن

بردار تنش برشی مؤلفه‌ای از $𝐭$ است که بر صفحه مماس است:

$𝝉 = 𝐭 - σ_{n} 𝐧$ $𝝉 = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}] - 7 [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] = \frac{1}{7} [\begin{matrix} - 20 & 12 & 42 \end{matrix}]$

بزرگی آن عبارت است از: $| 𝝉 | = \sqrt{{(- \frac{20}{7})}^{2} + {(\frac{12}{7})}^{2} + {(\frac{42}{7})}^{2}} = 6.86$

جهت آن عبارت است از: $\hat{𝝉} = \frac{𝝉}{| 𝝉 |} = \frac{1}{\sqrt{(- 20)^{2} + 12^{2} + 42^{2}}} [\begin{matrix} - 20 \\ 12 \\ 42 \end{matrix}]$

✅ نتایج نهایی

بردار کشش: $𝐭 = (\frac{22}{7}, \frac{33}{7}, \frac{56}{7})$
تنش نرمال: $σ_{n} = 7$
بزرگی تنش برشی: $| 𝝉 | = 6.86$
جهت تنش برشی: در امتداد $[- 20, 12, 42]$

این مثال از یادداشت‌های درسی پروفسور سوئو برای درس ES240 در دانشگاه هاروارد با اندکی اقتباس گرفته شده است.↩︎