تغییرات تنش درون یک جسم

در یک جسم تحت تنش، مؤلفه‌های تنش معمولاً از نقطه‌ای به نقطه دیگر تغییر می‌کنند. این تغییرات دلخواه نیستند؛ بلکه توسط قانون دوم حرکت نیوتن کنترل می‌شوند. با اعمال این قانون به یک المان بی‌نهایت کوچک، می‌توانیم معادلات حاکم بر تغییر تنش درون یک جسم را بیابیم.

المانی با ابعاد $\mathrm{\Delta }x$، $\mathrm{\Delta }y$ و $\mathrm{\Delta }z$ را در نظر بگیرید. مؤلفه‌های تنش بر هر وجه این المان عمل می‌کنند. روی هر وجه این المان مکعب‌شکل، مؤلفه‌های تنش ممکن است با مؤلفه‌های روی وجه مقابل متفاوت باشند. برای مثال، اگر مؤلفه xx تنش روی یک وجه ${\sigma }_{xx}$ باشد، آنگاه روی وجه مقابل به صورت ${\sigma }_{xx}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}$ در نظر گرفته خواهد شد.

فرض کنید $𝐛$ نیروی حجمی بر واحد جرم باشد. برای مثال، اگر فقط گرانش را در نظر بگیریم، آنگاه $b=g$ که در آن $g$ شتاب گرانشی است. بنابراین، مؤلفه $x$ نیروی ناشی از نیروی حجمی برابر است با $$\rho b_x\mathrm{\Delta }V=\rho b_x(\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z).$$که در آن $\rho$ چگالی جرمی در آن نقطه است.

اکنون، با جمع نیروهای وارد در جهت xxx ناشی از تنش‌ها بر همه وجوه و نیروی حجمی، و اعمال قانون دوم نیوتون $\sum F_x=m{a}_x$ نتیجه می‌دهد پس از ساده‌سازی و تقسیم هر دو طرف بر حجم $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$، به دست می‌آوریم: $$\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{yx}}{\mathrm{\Delta }y}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{zx}}{\mathrm{\Delta }z}+\rho b_x=\rho a_x$$ در حدی که $\mathrm{\Delta }x\to 0$، $\mathrm{\Delta }y\to 0$، و $\mathrm{\Delta }z\to 0$، نسبت‌های تفاضل محدود به مشتقات جزئی تبدیل می‌شوند: $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho a_x$$ با تکرار این فرایند برای جهت‌های y و z ($\sum F_y=m{a}_y$ و $\sum F_z=m{a}_z$)، به مجموعه کامل معادلات می‌رسیم: این سه معادله را می‌توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت: $$\boxed{\sum _{j=1}^3\frac{\partial {\sigma }_{ji}}{\partial x_j}+\rho b_i=\rho a_i(i=1,2,3)}$$ این همچنین معمولاً به صورت برداری یا تانسوری به شکل زیر نوشته می‌شود: $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho 𝐚$$ که به معنی است. این معادله به قانون اول حرکت کوشی معروف است.