Traction or Stress Vector

سطحی فرضی را در نظر بگیرید که جسمی را به دو قسمت تقسیم می‌کند.

**شکل 1** یک صفحه فرضی از میان جسمی پیوسته که تحت نیروهای سطحی خارجی قرار دارد عبور می‌کند. برگرفته از ویکی‌پدیا

ماده موجود در یک طرف سطح، مجموعه‌ای از نیروها را بر ماده طرف دیگر اعمال می‌کند.

**شکل 2** بخشی از جسم برداشته شده است که توزیع پیوسته‌ای از نیروهای داخلی را که بر سطح داخلی تازه نمایان‌شده وارد می‌شوند، نشان می‌دهد. این توزیع در نقطه P متمرکز است.

روی المان سطح کوچک $Δ S$ در اطراف نقطه $P$ روی این سطح، برآیند توزیع واقعی نیرو روی این ناحیه، نیروی $Δ 𝐅$ و گشتاور $Δ 𝐌$ است. بگذارید $\hat{𝐧}$ بردار یکه عمود بر سطح در نقطه $P$ و به سمت بیرون باشد.

**شکل 3** روی ناحیه کوچک ΔS در اطراف نقطه P، نیروهای داخلی توزیع‌شده با نیروی برآیند ΔF و گشتاور برآیند ΔM نمایش داده می‌شوند. بردار n عمود بر سطح است.

اکنون، اجازه می‌دهیم $Δ S$ حول نقطه $P$ به صفر میل کند، به‌گونه‌ای که بزرگترین بعد آن نیز به صفر برود.¹ در حالی که $Δ 𝐅$ و $Δ 𝐌$ نیز به صفر می‌روند، یک فرض اساسی در مکانیک پیوسته این است که نسبت $\frac{Δ 𝐅}{Δ S}$ به یک حد معین میل می‌کند، در حالی که اثر گشتاور از بین می‌رود.² این حد نسبت نیرو، بردار کشش یا بردار تنش نامیده می‌شود و با $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ نشان داده می‌شود: $𝐭^{(\hat{𝐧})} = \frac{d 𝐅}{d S} .$

**شکل 4** با کوچک شدن ناحیه به یک نقطه بی‌نهایت کوچک dS، شدت نیرو به عنوان بردار کشش تعریف می‌شود که همان نیروی بی‌نهایت کوچک dF در واحد سطح dS است.

فرض قوی‌تری که به عنوان اصل موضوع کوشی شناخته می‌شود نیز مطرح می‌شود: بردار کشش $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ تنها به نقطه $P$ و جهت‌گیری سطح $\hat{𝐧}$ بستگی دارد و مستقل از شکل المان یا انحنای سطح است. بالانویس $(\hat{𝐧})$ نشان‌دهنده این وابستگی به بردار نرمال است.³

بردار تنش را می‌توان به دو مؤلفه تجزیه کرد: تنش نرمال $σ_{n}$ که عمود بر $Δ S$ است و تنش برشی $τ_{n}$ که در صفحه قرار دارد.

**شکل 5** بردار کشش (که به عنوان بردار تنش نیز شناخته می‌شود) t(n) در نقطه P روی یک سطح داخلی به دو مؤلفه تجزیه می‌شود: مؤلفه تنش نرمال σn که عمود بر سطح عمل می‌کند و مؤلفه تنش برشی τn که موازی سطح عمل می‌کند.

توجه کنید که $Δ S \to 0$ با این واقعیت که مواد از اتم‌ها و مولکول‌ها تشکیل شده‌اند در تناقض است، اما به خاطر داشته باشید که (الف) ما فرض کردیم که ماده پیوسته است و هیچ فضای خالی بین ذرات وجود ندارد. (ب) تعریف فوق بسیار انتزاعی است و هرگز در عمل استفاده نمی‌شود.↩︎
شاخه‌ای از مکانیک پیوسته که به نام نظریه تنش-زوج (یا نظریه کُسِرات) شناخته می‌شود، موادی را بررسی می‌کند که در آن‌ها $\frac{Δ 𝐌}{Δ S}$ به صفر میل نمی‌کند. در عوض، به حدی به نام بردار تنش-زوج میل می‌کند که برای مدل‌سازی مواد با ریزساختار داخلی قابل توجه اهمیت دارد.↩︎
توجه کنید که $Δ S \to 0$ با این واقعیت که مواد از اتم‌ها و مولکول‌ها تشکیل شده‌اند در تناقض است، اما به خاطر داشته باشید که (الف) ما فرض کردیم که ماده پیوسته است و هیچ فضای خالی بین ذرات وجود ندارد. (ب) تعریف فوق بسیار انتزاعی است و هرگز در عمل استفاده نمی‌شود.↩︎