کروشه‌ها

پیش از آنکه تابعک‌های خطی و فضاهای دوگان را با جزئیات بیشتری مطالعه کنیم، مایلیم نمادی را معرفی کنیم که ممکن است در نگاه اول عجیب به نظر برسد، اما بعدها موقعیت‌های بسیاری را روشن خواهد کرد. معمولاً یک تابعک خطی را با یک حرف واحد مانند $y$ نشان می‌دهیم. با این حال، گاهی اوقات لازم است از نمادگذاری تابع به طور کامل استفاده کنیم و به نحوی نشان دهیم که اگر $y$ یک تابعک خطی روی $𝒱$ باشد و اگر $x$ برداری در $𝒱$ باشد، آنگاه $y (x)$ یک اسکالر خاص است. بر اساس نمادگذاری که پیشنهاد می‌کنیم در اینجا به کار گیریم، به جای نوشتن $y$ و سپس $x$ در داخل پرانتز، $x$ و $y$ را می‌نویسیم که بین کروشه قرار گرفته و با یک ویرگول از هم جدا شده‌اند. به دلیل ماهیت غیرمعمول این نمادگذاری، توضیحات بیشتری را به آن اختصاص خواهیم داد.

همان‌طور که همین الان اشاره کردیم، $[x, y]$ جایگزینی برای نماد معمول تابع $y (x)$ است؛ هر دوی این نمادها نشان‌دهنده اسکالری هستند که اگر مقدار تابع خطی $y$ را در بردار $x$ بگیریم، به دست می‌آوریم. بیایید یک موقعیت مشابه را در نظر بگیریم (مربوط به توابعی که البته خطی نیستند). فرض کنید $y$ تابع حقیقی از یک متغیر حقیقی باشد که برای هر عدد حقیقی $x$ با $y (x) = x^{2}$ تعریف شده است. نماد $[x, y]$ روشی نمادین برای نوشتن دستورالعمل عملیات واقعی انجام شده است؛ این نماد متناظر با جمله [یک عدد بگیرید و آن را به توان دو برسانید] است.

با استفاده از این نمادگذاری، می‌توانیم خلاصه کنیم: به هر فضای برداری $𝒱$ ، فضای دوگان شامل تمام تابعک‌های خطی روی $𝒱$ را متناظر می‌کنیم؛ به هر جفت $x$ و $y$ ، که در آن $x$ برداری در $𝒱$ و $y$ یک تابعک خطی در است، اسکالر $[x, y]$ را متناظر می‌کنیم که به عنوان مقدار $y$ در $x$ تعریف می‌شود. بر حسب نماد $[x, y]$ ویژگی تعریف‌کننده یک تابعک خطی عبارت است از

و تعریف عملیات خطی برای تابعک‌های خطی عبارت است از

این دو رابطه با هم با این بیان выраж می‌شوند که $[x, y]$ یک تابعک دوخطی از بردارهای $x$ در $𝒱$ و $y$ در است.

تمرین‌ها

تمرین ۱. مجموعه $ℂ$ از اعداد مختلط را به عنوان یک فضای برداری حقیقی در نظر بگیرید (مانند بخش: مثال‌ها ، (۹)). فرض کنید برای هر $x = ξ_{1} + i ξ_{2}$ در $ℂ$ (که در آن $ξ_{1}$ و $ξ_{2}$ اعداد حقیقی هستند و $i = \sqrt{- 1}$ ) تابع $y$ به صورت زیر تعریف شده است

$y (x) = ξ_{1}$
$y (x) = ξ_{2}$ ،
$y (x) = ξ_{1}^{2}$ ،
$y (x) = ξ_{1} - i ξ_{2}$ ،
$y (x) = \sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}}$ . (علامت رادیکال متصل به یک عدد مثبت همواره نشان‌دهنده ریشه دوم مثبت آن عدد است.)

در کدام یک از این موارد $y$ یک تابعک خطی است؟

تمرین ۲. فرض کنید برای هر $x = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})$ در $ℂ^{3}$ تابع $y$ به صورت زیر تعریف شده است

$y (x) = ξ_{1} + ξ_{2}$ ،
$y (x) = ξ_{1} - ξ_{3}^{2}$ ،
$y (x) = ξ_{1} + 1$ ،
$y (x) = ξ_{1} - 2 ξ_{2} + 3 ξ_{2}$ .

در کدام یک از این موارد $y$ یک تابعک خطی است؟

تمرین ۳. فرض کنید برای هر $x$ در $𝒫$ تابع $y$ به صورت زیر تعریف شده است

$y (x) = \int_{- 1}^{+ 2} x (t) d t$ ،
$y (x) = \int_{0}^{2} (x (t))^{2} d t$ ،
$y (x) = \int_{0}^{1} t^{2} x (t) d t$ ،
$y (x) = \int_{0}^{1} x (t^{2}) d t$ ،
$y (x) = \frac{d x}{d t}$ ،
$y (x) = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} |_{t = 1}$ .

در کدام یک از این موارد $y$ یک تابعک خطی است؟

تمرین ۴. اگر $(α_{0}, α_{1}, α_{2}, \dots)$ یک دنباله دلخواه از اعداد مختلط باشد، و اگر $x$ عضوی از $𝒫$ باشد، به طوری که $x (t) = \sum_{i = 0}^{n} ξ_{i} t^{i}$ ، بنویسید $y (x) = \sum_{i = 0}^{n} ξ_{i} α_{i}$ . ثابت کنید که $y$ عضوی از است و هر عضو را می‌توان به این روش و با انتخاب مناسب $α$ ها به دست آورد.

تمرین ۵. اگر $y$ یک تابعک خطی غیرصفر روی یک فضای برداری $𝒱$ باشد، و اگر $α$ یک اسکالر دلخواه باشد، آیا لزوماً برداری مانند $x$ در $𝒱$ وجود دارد به طوری که $[x, y] = α$ باشد؟

تمرین ۶. ثابت کنید اگر $y$ و $z$ تابعک‌های خطی (روی همان فضای برداری) باشند به طوری که هرگاه $[x, z] = 0$ باشد، آنگاه $[x, y] = 0$ باشد، پس اسکالری مانند $α$ وجود دارد به طوری که $y = α z$ . (راهنمایی: اگر $[x_{0}, z] \neq 0$ باشد، بنویسید $α = [x_{0}, y] / [x_{0}, z]$ .)