پایه‌های دوگان

اثبات. هر $x$ در $𝒱$ را می‌توان به فرم $x={\xi }_1{x}_1+\cdots +{\xi }_n{x}_n$ تنها به یک طریق نوشت؛ اگر $y$ هر تابعک خطی باشد، آنگاه $$[x,y]={\xi }_1[x_1,y]+\cdots +{\xi }_n[x_n,y].$$ از این رابطه، یکتایی $y$ مشخص است؛ اگر $[x_i,y]={\alpha }_i$ ، آنگاه مقدار $[x,y]$ برای هر $x$ ، توسط $[x,y]=\sum _i{\xi }_i{\alpha }_i$ تعیین می‌شود. این استدلال را می‌توان معکوس نیز کرد؛ اگر $y$ را با $$[x,y]={\xi }_1{\alpha }_1+\cdots +{\xi }_n{\alpha }_n,$$ تعریف کنیم، آنگاه $y$ در واقع یک تابعک خطی است، و $[x_i,y]={\alpha }_i$ . ◻

اثبات. از قضیه ۱ نتیجه می‌شود که، برای هر $j=1,\dots ,n$ ، یک $y_j$ یکتا در را می‌توان یافت به طوری که $[x_i,y_j]={\delta }_{ij}$ ؛ ما تنها باید ثابت کنیم که مجموعه یک پایه در است.

در درجه اول، یک مجموعه مستقل خطی است، زیرا اگر ${\alpha }_1{y}_1+$ $\cdots +{\alpha }_n{y}_n=0$ داشته باشیم، به عبارت دیگر، اگر $$[x,{\alpha }_1{y}_1+\cdots +{\alpha }_n{y}_n]={\alpha }_1[x,y_1]+\cdots +{\alpha }_n[x,y_n]=0$$ برای همه $x$ ها، آنگاه باید برای $x=x_i$ داشته باشیم،

$$0=\sum _j{\alpha }_j[x_i,y_j]=\sum _j{\alpha }_j{\delta }_{ij}={\alpha }_i.$$ 

در درجه دوم، هر $y$ در یک ترکیب خطی از $y_1,\dots ,y_n$ است. برای اثبات این، می‌نویسیم $[x_i,y]={\alpha }_i$ ؛ آنگاه، برای $x=\sum _i{\xi }_i{x}_i$ ، داریم $$[x,y]={\xi }_1{\alpha }_1+\cdots +{\xi }_n{\alpha }_n.$$ 

از طرف دیگر $$[x,y_j]=\sum _i{\xi }_i[x_i,y_j]={\xi }_j$$ 

به طوری که، با جایگذاری در معادله پیشین، به دست می‌آوریم

در نتیجه $y={\alpha }_1{y}_1+\cdots +{\alpha }_n{y}_n$ ، و اثبات قضیه کامل است. ◻

اثبات. اینکه دو عبارت در قضیه واقعاً معادل هستند با در نظر گرفتن $x=u-v$ دیده می‌شود. بر این اساس، ما تنها عبارت دوم را اثبات خواهیم کرد.

فرض کنید $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ هر پایه‌ای در $𝒱$ باشد، و فرض کنید پایه دوگان در باشد. اگر $x=\sum _i{\xi }_i{x}_i$ ، آنگاه (مانند بالا) $[x,y_j]={\xi }_j$ . بنابراین اگر $[x,y]=0$ برای همه $y$ ها، و به طور خاص، اگر $[x,y_j]=0$ برای $j=1,\dots ,n$ ، آنگاه $x=0$ . ◻