پایه‌ها

تعریف ۱. یک پایه (خطی) (یا یک دستگاه مختصات ) در یک فضای برداری $𝒱$ مجموعه‌ای $𝒳$ از بردارهای مستقل خطی است به طوری که هر بردار در $𝒱$ ترکیبی خطی از عناصر $𝒳$ باشد. یک فضای برداری $𝒱$ در صورتی متناهی‌بعد است که دارای یک پایه متناهی باشد.

به جز بررسی گاه‌به‌گاه مثال‌ها، در سراسر این کتاب توجه خود را به فضاهای برداری متناهی‌بعد معطوف خواهیم کرد.

برای مثال‌هایی از پایه‌ها، دوباره به فضاهای $𝒫$ و $ℂ^{n}$ بازمی‌گردیم. در $𝒫$ ، مجموعه ${x_{n}}$ ، که در آن $x_{n} (t) = t^{n}$ ، $n = 0, 1, 2, \dots$ ، یک پایه است؛ هر چندجمله‌ای، طبق تعریف، ترکیبی خطی از تعداد متناهی $x_{n}$ است. علاوه بر این $𝒫$ هیچ پایه متناهی ندارد، زیرا با فرض هر مجموعه متناهی از چندجمله‌ای‌ها، می‌توانیم چندجمله‌ای با درجه‌ای بالاتر از همه آن‌ها بیابیم؛ این چندجمله‌ای اخیر بدیهی است که ترکیبی خطی از چندجمله‌ای‌های پیشین نیست.

یک مثال از پایه در $ℂ^{n}$ مجموعه بردارهای $x_{i}$ ، $i = 1, \dots, n$ است که با این شرط تعریف می‌شوند که مختصه $j$ ام $x_{i}$ برابر با $δ_{i j}$ باشد. (در اینجا برای اولین بار از دلتای کرونکر محبوب $δ$ استفاده می‌کنیم؛ که با $δ_{i j} = 1$ اگر $i = j$ و $δ_{i j} = 0$ اگر $i \neq j$ تعریف می‌شود.) بنابراین ادعا می‌کنیم که در $ℂ^{3}$ بردارهای $x_{1} = (1, 0, 0)$ ، $x_{2} = (0, 1, 0)$ ، و $x_{3} = (0, 0, 1)$ یک پایه را تشکیل می‌دهند. به آسانی می‌توان دید که آن‌ها مستقل خطی هستند؛ فرمول $x = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) = ξ_{1} x_{1} + ξ_{2} x_{2} + ξ_{3} x_{3}$ ثابت می‌کند که هر $x$ در $ℂ^{3}$ ترکیبی خطی از آن‌هاست.

در یک فضای برداری متناهی‌بعد کلی $𝒱$ ، با پایه ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ ، می‌دانیم که هر $x$ را می‌توان به فرم $x = \sum_{i} ξ_{i} x_{i};$ نوشت؛ ما ادعا می‌کنیم که $ξ$ ها به‌طور یکتا توسط $x$ تعیین می‌شوند. اثبات این ادعا استدلالی است که اغلب در نظریه وابستگی خطی به کار می‌رود. اگر $x = \sum_{i} η_{i} x_{i}$ داشته باشیم، آنگاه با تفریق، خواهیم داشت $\sum_{i} (ξ_{i} - η_{i}) x_{i} = 0.$ از آنجا که $x_{i}$ ها مستقل خطی هستند، این نتیجه می‌دهد که $ξ_{i} - η_{i} = 0$ برای $i = 1, \dots, n$ ؛ به عبارت دیگر، $ξ$ ها همان $η$ ها هستند. (توجه کنید که نوشتن ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ برای یک پایه با $n$ عنصر، در حالتی که $n = 0$ باشد، کار درستی نیست. با این وجود، ما مکرراً از این نمادگذاری استفاده خواهیم کرد. هر زمان که این کار انجام شود، اصولاً لازم است یک بحث جداگانه که برای پوشش فضای برداری $𝒪$ طراحی شده است، ضمیمه شود. اما در واقعیت، همه چیز در مورد آن فضا چنان بدیهی است که جزئیات آن ارزش نوشتن ندارد و ما از آن‌ها صرف‌نظر خواهیم کرد.)

قضیه ۱. اگر $𝒱$ یک فضای برداری متناهی‌بعد باشد و اگر ${y_{1}, \dots, y_{m}}$ هر مجموعه‌ای از بردارهای مستقل خطی در $𝒱$ باشد، آنگاه، مگر اینکه $y$ ها از قبل یک پایه را تشکیل دهند، می‌توانیم بردارهای $y_{m + 1}, \dots, y_{m + p}$ را بیابیم به طوری که مجموع کل $y$ ها، یعنی ${y_{1}, \dots, y_{m}, y_{m + 1}, \dots, y_{m + p}}$ ، یک پایه باشد. به عبارت دیگر، هر مجموعه مستقل خطی را می‌توان به یک پایه گسترش داد.

اثبات. از آنجا که $𝒱$ متناهی‌بعد است، یک پایه متناهی دارد، مثلاً ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ . ما مجموعه $𝒮$ از بردارهای $y_{1}, \dots, y_{m}, x_{1}, \dots, x_{n}$ را با این ترتیب در نظر می‌گیریم، و قضیه بخش: ترکیبات خطی را چندین بار پشت سر هم بر این مجموعه اعمال می‌کنیم. در وهله اول، مجموعه $𝒮$ وابسته خطی است، زیرا $y$ ها (مانند همه بردارها) ترکیبات خطی از $x$ ها هستند. بنابراین برداری از $𝒮$ ترکیب خطی از بردارهای پیش از خود است؛ فرض کنید $z$ نخستین چنین برداری باشد. آنگاه $z$ با هر $y_{i}$ ، $i = 1, \dots, m$ متفاوت است (زیرا $y$ ها مستقل خطی هستند)، به طوری که $z$ برابر با یکی از $x$ هاست، مثلاً $z = x_{i}$ . ما مجموعه جدید از بردارهای $y_{1}, \dots, y_{m}, x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n} .$ را در نظر می‌گیریم. مشاهده می‌کنیم که هر بردار در $𝒱$ یک ترکیب خطی از بردارهای موجود در است، زیرا به وسیله $y_{1}, \dots, y_{m}, x_{1}, \dots, x_{i - 1}$ می‌توانیم $x_{i}$ را بیان کنیم، و سپس به وسیله $x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{n}$ می‌توانیم هر برداری را بیان کنیم. ( $x$ ها یک پایه تشکیل می‌دهند.) اگر مستقل خطی باشد، کار تمام است. اگر نباشد، قضیه بخش: ترکیبات خطی را دوباره و دوباره به همان روش اعمال می‌کنیم تا به یک مجموعه مستقل خطی شامل $y_{1}, \dots, y_{m}$ برسیم، که بر حسب آن‌ها می‌توانیم هر بردار در $𝒱$ را بیان کنیم. این مجموعه آخر یک پایه شامل $y$ ها است. ◻

تمرین‌ها

تمرین ۱.

ثابت کنید که چهار بردار در $ℂ^{3}$ یک مجموعه وابسته خطی تشکیل می‌دهند، اما هر سه تای آن‌ها مستقل خطی هستند. (برای آزمودن وابستگی خطی بردارهای $x = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}), y = (η_{1}, η_{2}, η_{3})$ ، و $z = (ζ_{1}, ζ_{2}, ζ_{2})$ در $ℂ^{3}$ ، به شرح زیر عمل کنید. فرض کنید که می‌توان $α$ ، $β$ ، و $γ$ را چنان یافت که $α x + β y + γ z = 0$ . این بدان معناست که بردارهای $x$ ، $y$ ، و $z$ وابسته خطی هستند اگر و تنها اگر این معادلات جوابی غیر از $α = β = γ = 0$ داشته باشند.)
اگر بردارهای $x$ ، $y$ ، $z$ ، و $u$ در $𝒫$ توسط $x (t) = 1$ ، $y (t) = t$ ، $z (t) = t^{2}$ ، و $u (t) = 1 + t + t^{2}$ تعریف شوند، ثابت کنید که $x$ ، $y$ ، $z$ ، و $u$ وابسته خطی هستند، اما هر سه تای آن‌ها مستقل خطی هستند.

تمرین ۲. ثابت کنید اگر $ℝ$ به عنوان یک فضای برداری گویا در نظر گرفته شود (رجوع کنید به بخش: مثال‌ها ، (۸))، آنگاه یک شرط لازم و کافی برای اینکه بردارهای $1$ و $ξ$ در $ℝ$ مستقل خطی باشند این است که عدد حقیقی $ξ$ گنگ باشد.

تمرین ۳. آیا این درست است که اگر $x$ ، $y$ ، و $z$ بردارهای مستقل خطی باشند، آنگاه $x + y$ ، $y + z$ ، و $z + x$ نیز مستقل خطی هستند؟

تمرین ۴.

تحت چه شرایطی روی اسکالر $ξ$ بردارهای $(1 + ξ, 1 - ξ)$ و $(1 - ξ, 1 + ξ)$ در $ℂ^{2}$ وابسته خطی هستند؟
تحت چه شرایطی روی اسکالر $ξ$ بردارهای $(ξ, 1, 0)$ ، $(1, ξ, 1)$ ، و $(0, 1, ξ)$ در $ℝ^{2}$ وابسته خطی هستند؟
پاسخ قسمت (b) برای $ℚ^{3}$ (به جای $ℝ^{3}$ ) چیست؟

تمرین ۵.

بردارهای $(ξ_{1}, ξ_{2})$ و $(η_{1}, η_{2})$ در $ℂ^{2}$ وابسته خطی هستند اگر و تنها اگر $ξ_{1} η_{2} = ξ_{2} η_{1}$ .
یک شرط لازم و کافی مشابه برای وابستگی خطی دو بردار در $ℂ^{2}$ بیابید. همین کار را برای سه بردار در $ℂ^{3}$ انجام دهید.
آیا مجموعه‌ای از سه بردار مستقل خطی در $ℂ^{2}$ وجود دارد؟

تمرین ۶.

تحت چه شرایطی روی اسکالرهای $ξ$ و $η$ بردارهای $(1, ξ)$ و $(1, η)$ در $ℂ^{2}$ وابسته خطی هستند؟
تحت چه شرایطی روی اسکالرهای $ξ$ ، $η$ ، و $ζ$ بردارهای $(1, ξ, ξ^{2})$ ، $(1, η, η^{2})$ ، و $(1, ζ, ζ^{2})$ در $ℂ^{2}$ وابسته خطی هستند؟
یک تعمیم از (a) و (b) به $ℂ^{n}$ را حدس بزنید و اثبات کنید.

تمرین ۷.

دو پایه در $ℂ^{4}$ بیابید به طوری که تنها بردارهای مشترک بین هر دو $(0, 0, 1, 1)$ و $(1, 1, 0, 0)$ باشند.
دو پایه در $ℂ^{4}$ بیابید که هیچ بردار مشترکی نداشته باشند، به طوری که یکی از آن‌ها شامل بردارهای $(1, 0, 0, 0)$ و $(1, 1, 0, 0)$ و دیگری شامل بردارهای $(1, 1, 1, 0)$ و $(1, 1, 1, 1)$ باشد.

تمرین ۸.

تحت چه شرایطی روی اسکالر $ξ$ بردارهای $(1, 1, 1)$ و $(1, ξ, ξ^{2})$ یک پایه برای $ℂ^{3}$ تشکیل می‌دهند؟
تحت چه شرایطی روی اسکالر $ξ$ بردارهای $(0, 1, ξ)$ ، $(ξ, 0, 1)$ و $(ξ, 1, 1 + ξ)$ یک پایه برای $ℂ^{3}$ تشکیل می‌دهند؟

تمرین ۹. مجموعه تمام بردارهایی در $ℂ^{2}$ را در نظر بگیرید که هر یک از مختصات آن‌ها یا $0$ و یا $1$ باشد؛ این مجموعه شامل چند پایه متفاوت است؟

تمرین ۱۰. اگر $𝒳$ مجموعه‌ای متشکل از شش بردار $(1, 1, 0, 0)$ ، $(1, 0, 1, 0)$ ، $(1, 0, 0, 1)$ ، $(0, 1, 1, 0)$ ، $(0, 1, 0, 1)$ و $(0, 0, 1, 1)$ در $ℂ^{4}$ باشد، دو زیرمجموعه ماکسیمال مستقل خطی متفاوت از $𝒳$ بیابید. (یک زیرمجموعه ماکسیمال مستقل خطی از $𝒳$ ، زیرمجموعه‌ای مستقل خطی مانند $𝒴$ از $𝒳$ است که هر بار با الحاق برداری از $𝒳$ که از پیش در $𝒴$ نیست به $𝒴$ ، وابسته خطی می‌شود.)

تمرین ۱۱. ثابت کنید که هر فضای برداری دارای یک پایه است. (اثبات این واقعیت برای کسانی که با برخی ترفندهای ترانس‌متناهی، مانند خوش‌ترتیبی یا لم زورن، آشنایی ندارند، دور از دسترس است.)