وابستگی خطی

اکنون که فضاهایی را که با آن‌ها کار خواهیم کرد توصیف کرده‌ایم، باید روابط میان عناصر آن فضاها را که مورد توجه ما خواهند بود، مشخص کنیم.

کار خود را با چند کلمه درباره نماد جمع‌بندی آغاز می‌کنیم. اگر متناظر با هر یک از اعضای مجموعه‌ای از اندیس‌ها $i$ یک بردار $x_i$ داده شده باشد، و اگر مشخص کردن دقیق مجموعه اندیس‌ها لازم یا راحت نباشد، ما صرفاً از یک مجموعه $\{x_i\}$ از بردارها صحبت خواهیم کرد. (ما این احتمال را می‌پذیریم که یک بردار یکسان متناظر با دو اندیس متمایز باشد. بنابراین، برای رعایت صداقت کامل، باید بیان شود که آنچه اهمیت دارد این نیست که کدام بردارها در $\{x_i\}$ ظاهر می‌شوند، بلکه نحوه ظاهر شدن آن‌ها اهمیت دارد.) اگر مجموعه اندیس مورد نظر متناهی باشد، مجموع بردارهای متناظر را با $\sum _i{x}_i$ (یا در صورت تمایل، با نماد صریح‌تری مانند $\sum _{i=1}^n{x}_i$ ) نشان خواهیم داد. به منظور اجتناب از تفکیک حالت‌های مکرر و وسواس‌گونه، ایده خوبی است که مجموع‌هایی مانند $\sum _i{x}_i$ را در نظریه عمومی بپذیریم، حتی زمانی که هیچ اندیس $i$ برای جمع زدن روی آن وجود نداشته باشد، یا دقیق‌تر بگوییم، حتی زمانی که مجموعه اندیس مورد نظر تهی باشد. (در آن حالت، البته، هیچ برداری برای جمع زدن وجود ندارد، یا دقیق‌تر بگوییم، مجموعه $\{x_i\}$ نیز تهی است.) مقدار چنین «جمع تهی» به طور طبیعی برابر با بردار $0$ تعریف می‌شود.

عبارت‌بندی این تعریف به گونه‌ای است که حالت مجموعه تهی را نیز پوشش دهد؛ نتیجه در آن حالت، هرچند ممکن است متناقض‌نما به نظر برسد، به شکلی بسیار رضایت‌بخش با بقیه نظریه هماهنگ است. نتیجه این است که مجموعه تهی از بردارها مستقل خطی است. در واقع، اگر هیچ اندیس $i$ وجود نداشته باشد، آنگاه امکان ندارد که برخی از آن‌ها را انتخاب کنیم و به انتخاب‌شده‌ها اسکالر غیرصفری نسبت دهیم تا مجموع خاصی صفر شود. مشکل در اجتناب از انتساب صفر نیست؛ بلکه در یافتن اندیسی است که بتوان چیزی به آن نسبت داد. توجه داشته باشید که این استدلال نشان می‌دهد مجموعه تهی وابسته خطی نیست؛ برای خواننده‌ای که با استدلال از طریق «استلزام تهی» آشنا نیست، هم‌ارزی تعریف استقلال خطی با نقیض مستقیم تعریف وابستگی خطی نیاز به کمی توجیه شهودی اضافی دارد. ساده‌ترین راه برای احساس راحتی با این گزاره که « $\sum _i{\alpha }_i{x}_i=0$ ایجاب می‌کند که برای هر $i$ ، ${\alpha }_i=0$ باشد» در حالتی که هیچ اندیس $i$ وجود ندارد، این است که آن را به این صورت بازنویسی کنیم: «اگر $\sum _i{\alpha }_i{x}_i=0$ ، آنگاه هیچ اندیس $i$ وجود ندارد که برای آن ${\alpha }_i\ne 0$ باشد.» این نسخه بدیهتاً درست است اگر اصلاً هیچ اندیس $i$ وجود نداشته باشد.

وابستگی و استقلال خطی از ویژگی‌های مجموعه‌هایی از بردارها هستند؛ با این حال، مرسوم است که این صفت‌ها را برای خود بردارها به کار ببرند، و بنابراین ما گاهی به جای «یک مجموعه مستقل خطی از بردارها» خواهیم گفت «یک مجموعه از بردارهای مستقل خطی». همچنین راحت‌تر خواهد بود که از وابستگی و استقلال خطی یک مجموعه از بردارها صحبت کنیم که لزوماً متناهی نیست و آن را با $𝒳$ نشان می‌دهیم. خواهیم گفت که $𝒳$ مستقل خطی است اگر هر زیرمجموعه متناهی از $𝒳$ چنین باشد؛ در غیر این صورت $𝒳$ وابسته خطی است.

برای به دست آوردن درکی از معنای وابستگی خطی، بیایید مثال‌هایی از فضاهای برداری را که از قبل داریم مطالعه کنیم.