نظرات

چند نکته درباره اصول موضوعه و نمادگذاری ما شایان ذکر است. شباهت‌های چشمگیر (و تفاوت‌های به همان اندازه چشمگیر) بین اصول موضوعه یک میدان و اصول موضوعه یک فضای برداری روی یک میدان وجود دارد. در هر دو مورد، اصول موضوعه (A) ساختار جمعی سیستم را توصیف می‌کنند، اصول موضوعه (B) ساختار ضربی آن را توصیف می‌کنند، و اصول موضوعه (C) ارتباط بین این دو ساختار را توصیف می‌کنند. کسانی که با اصطلاحات جبری آشنا هستند، اصول موضوعه (A) (در هر دو بخش ۱ و ۲) را به عنوان شرایط تعریف‌کننده یک گروه آبلی (جابجایی) تشخیص خواهند داد؛ اصول موضوعه (B) و (C) (در بخش: فضاهای برداری ) این واقعیت را بیان می‌کنند که گروه، اسکالرها را به عنوان عملگر می‌پذیرد. در حاشیه اشاره می‌کنیم که اگر اسکالرها عناصری از یک حلقه (به جای یک میدان) باشند، مفهوم تعمیم‌یافته متناظر با یک فضای برداری، یک مدول نامیده می‌شود.

فضاهای برداری حقیقی خاص (مانند $ℝ^{2}$ و $ℝ^{3}$ ) در هندسه آشنا هستند. در این مرحله به نظر می‌رسد هیچ توجیهی برای پافشاری ظاهراً بی‌اهمیت ما بر میدان‌هایی غیر از $ℝ$ ، و به‌ویژه بر میدان اعداد مختلط $ℂ$ وجود ندارد. امیدواریم خواننده مایل باشد این فرض را بپذیرد که ما بعداً ناگزیر به استفاده از ویژگی‌های عمیق اعداد مختلط (مزدوج‌گیری، بستار جبری) خواهیم بود، و اینکه هم در کاربردهای فضاهای برداری در فیزیک مدرن (مکانیک کوانتومی) و هم در تعمیم ریاضی نتایج ما به فضای هیلبرت، اعداد مختلط نقش مهمی ایفا می‌کنند. تنها عیب بزرگ آن‌ها دشواری در رسم تصاویر است؛ تصویر معمولی (نمودار آرگاند) از $ℂ^{1}$ از تصویر $ℝ^{2}$ غیرقابل تشخیص است، و نمایش گرافیکی $ℂ^{2}$ خارج از توانایی بشر به نظر می‌رسد. بنابراین، در مواقعی که مجبور به استفاده از زبان تصویری هستیم، از اصطلاحات مربوط به $ℝ^{n}$ در $ℂ^{n}$ استفاده خواهیم کرد و مثلاً از $ℂ^{2}$ به عنوان یک صفحه یاد می‌کنیم.

در نهایت، نکته‌ای درباره نمادگذاری بیان می‌کنیم. مشاهده می‌کنیم که نماد $0$ در دو معنا به کار رفته است: یک بار به عنوان یک اسکالر و یک بار به عنوان یک بردار. برای بدتر کردن اوضاع، بعداً هنگامی که تابع‌گون‌های خطی و نگاشت‌های خطی را معرفی می‌کنیم، معانی دیگری نیز به آن خواهیم داد. خوشبختانه، روابط میان تفاسیر مختلف از $0$ به گونه‌ای است که پس از این هشدار، هیچ ابهامی از این روش کار نباید ایجاد شود.

تمرین‌ها

تمرین ۱. ثابت کنید که اگر $x$ و $y$ بردار باشند و $α$ یک اسکالر باشد، آنگاه روابط زیر برقرار است.

$0 + x = x$ .
$- 0 = 0$ .
$α \cdot 0 = 0$ .
$0 \cdot x = 0$ . (توجه کنید که از یک نماد در هر دو طرف این معادله استفاده شده است؛ در سمت چپ نشان‌دهنده یک اسکالر و در سمت راست نشان‌دهنده یک بردار است.)
اگر $α x = 0$ ، آنگاه یا $α = 0$ یا $x = 0$ (یا هر دو).
$- x = (- 1) x$ .
$y + (x - y) = x$ . (در اینجا $x - y = x + (- y)$ است.)

تمرین ۲. اگر $p$ یک عدد اول باشد، آنگاه $ℤ_{p}^{n}$ یک فضای برداری روی $ℤ_{p}$ است (مقایسه کنید با بخش: میدان‌ها ، تمرین ۳)؛ چه تعداد بردار در این فضای برداری وجود دارد؟

تمرین ۳. فرض کنید $𝒱$ مجموعه تمام زوج‌های (مرتب) از اعداد حقیقی باشد. اگر $x = (ξ_{1}, ξ_{2})$ و $y = (η_{1}, η_{2})$ عناصری از $𝒱$ باشند، بنویسید:

آیا $𝒱$ با توجه به این تعاریف از عملیات خطی، یک فضای برداری است؟ چرا؟

تمرین ۴. گاهی اوقات یک زیرمجموعه از یک فضای برداری، خود یک فضای برداری است (با توجه به عملیات خطی که قبلاً تعریف شده است). به عنوان مثال، فضای برداری $ℂ^{3}$ و زیرمجموعه‌های $𝒱$ از $ℂ^{3}$ شامل آن بردارها $(ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})$ را در نظر بگیرید که برای آن‌ها:

$ξ_{1}$ حقیقی باشد،
$ξ_{1} = 0$ ،
یا $ξ_{1} = 0$ یا $ξ_{2} = 0$ ،
$ξ_{1} + ξ_{2} = 0$ ،
$ξ_{1} + ξ_{2} = 1$ .

در کدام‌یک از این حالت‌ها $𝒱$ یک فضای برداری است؟

تمرین ۵. فضای برداری $𝒫$ و زیرمجموعه‌های $𝒱$ از $𝒫$ شامل آن بردارها (چندجمله‌ای‌ها) $x$ را در نظر بگیرید که برای آن‌ها:

$x$ دارای درجه $3$ باشد،
$2 x (0) = x (1)$ ،
$x (t) \geq 0$ هرگاه $0 \leq t \leq 1$ ،
$x (t) = x (1 - t)$ برای همه $t$ .

در کدام‌یک از این حالت‌ها $𝒱$ یک فضای برداری است؟