نابودگران

تعریف ۱. پوچ‌ساز $𝒮^{0}$ هر زیرمجموعه $𝒮$ از یک فضای برداری $𝒱$ ( $𝒮$ لازم نیست زیرفضا باشد) مجموعه تمام بردارهای $y$ در است به طوری که $[x, y]$ برای تمام $x$ ها در $𝒮$ دقیقاً برابر با صفر باشد.

بنابراین و $𝒱^{0} = 𝒪$ ( ). اگر $𝒱$ متناهی‌بعد باشد و $𝒮$ شامل یک بردار ناصفر باشد، به طوری که $𝒮 \neq 𝒪$ ، آنگاه بخش: پایه‌های دوگان ، قضیه ۳ نشان می‌دهد که .

قضیه ۱. اگر $ℳ$ یک زیرفضای $m$ -بعدی از یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ باشد، آنگاه $ℳ^{0}$ یک زیرفضای $(n - m)$ -بعدی از است.

اثبات. بررسی اینکه $ℳ^{0}$ (در واقع $𝒮^{0}$ ، برای یک $𝒮$ دلخواه) همواره یک زیرفضا است را به خواننده واگذار می‌کنیم؛ ما تنها گزاره مربوط به بعد $ℳ^{0}$ را اثبات خواهیم کرد.

فرض کنید $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ پایه‌ای در $𝒱$ باشد که $m$ عنصر اول آن در $ℳ$ هستند (و بنابراین پایه‌ای برای $ℳ$ تشکیل می‌دهند)؛ فرض کنید پایه دوگان در باشد. ما با $𝒩$ زیرفضایی را (در ) نشان می‌دهیم که توسط $y_{m + 1}, \dots, y_{n}$ تولید شده است؛ واضح است که $𝒩$ دارای بعد $n - m$ است. ما اثبات خواهیم کرد که $ℳ^{0} = 𝒩$ .

اگر $x$ هر برداری در $ℳ$ باشد، آنگاه $x$ ترکیبی خطی از $x_{1}, \dots, x_{m}$ است، $x = \sum_{i = 1}^{m} ξ_{i} x_{i},$ و برای هر $j = m + 1, \dots, n$ ، داریم $[x, y_{j}] = \sum_{i = 1}^{m} ξ_{i} [x_{i}, y_{j}] = 0.$ به عبارت دیگر، $y_{j}$ در $ℳ^{0}$ است برای $j = m + 1, \dots, n$ ؛ از این رو نتیجه می‌شود که $𝒩$ در $ℳ^{0}$ محتوی است، $𝒩 \subset ℳ^{0} .$ از سوی دیگر، فرض کنید که $y$ هر عنصری از $ℳ^{0}$ باشد. از آنجا که $y$ ، چون در است، ترکیبی خطی از بردارهای پایه $y_{1}, \dots, y_{n}$ می‌باشد، می‌توانیم بنویسیم $y = \sum_{j = 1}^{n} η_{j} y_{j} .$ از آنجا که بنا بر فرض، $y$ در $ℳ^{0}$ است، برای هر $i = 1, \dots, m$ داریم، $0 = t [x_{i}, y] = \sum_{j = 1}^{n} η_{j} [x_{i}, y_{j}] = η_{i}$ به عبارت دیگر، $y$ ترکیبی خطی از $y_{m + 1}, \dots, y_{n}$ است. این ثابت می‌کند که $y$ در $𝒩$ است، و در نتیجه $ℳ^{0} \subset 𝒩$ و قضیه نتیجه می‌شود. ◻

قضیه ۲. اگر $ℳ$ زیرفضایی در یک فضای برداری متناهی‌بعد $𝒱$ باشد، آنگاه $ℳ^{00}$ ( $= (ℳ^{0})^{0}$ ) $= ℳ$ .

اثبات. توجه کنید که ما در اینجا از قراردادی استفاده می‌کنیم که در انتهای بخش: بازتابندگی برقرار شد، که $𝒱$ و را یکی می‌گیرد. طبق تعریف، $ℳ^{00}$ مجموعه تمام بردارهای $x$ است به طوری که $[x, y] = 0$ برای تمام $y$ ها در $ℳ^{0}$ . از آنجا که طبق تعریف $ℳ^{0}$ ، $[x, y] = 0$ برای تمام $x$ ها در $ℳ$ و تمام $y$ ها در $ℳ^{0}$ ، نتیجه می‌شود که $ℳ \subset ℳ^{00}$ . نتیجه مطلوب اکنون از یک استدلال ابعادی حاصل می‌شود. فرض کنید $ℳ$ دارای بعد $m$ باشد؛ آنگاه بعد $ℳ^{0}$ برابر با $n - m$ است، و بعد $ℳ^{00}$ برابر با $n - (n - m) = m$ است. بنابراین $ℳ = ℳ^{00}$ ، همان‌طور که باید اثبات می‌شد. ◻

تمرین‌ها

تمرین ۱. یک تابعک خطی ناصفر $y$ روی $ℂ^{3}$ تعریف کنید به طوری که اگر $x_{1} = (1, 1, 1)$ و $x_{2} = (1, 1, - 1)$ باشد، آنگاه $[x_{1}, y] = [x_{2}, y] = 0$ .

تمرین ۲. بردارهای $x_{1} = (1, 1, 1)$ ، $x_{2} = (1, 1, - 1)$ ، و $x_{3} = (1, - 1, - 1)$ پایه‌ای از $ℂ^{3}$ تشکیل می‌دهند. اگر ${y_{1}, y_{2}, y_{3}}$ پایه دوگان باشد، و اگر $x = (0, 1, 0)$ باشد، $[x, y_{1}]$ ، $[x, y_{2}]$ ، و $[x, y_{3}]$ را بیابید.

تمرین ۳. اثبات کنید که اگر $y$ یک تابعک خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ باشد، آنگاه مجموعه تمام آن بردارهای $x$ که برای آن‌ها $[x, y] = 0$ است، زیرفضایی از $𝒱$ است؛ بعد آن زیرفضا چقدر است؟

تمرین ۴. اگر $y (x) = ξ_{1} + ξ_{2} + ξ_{3}$ هرگاه که $x = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})$ بردار در $ℂ^{3}$ باشد، آنگاه $y$ یک تابعک خطی روی $ℂ^{3}$ است؛ پایه‌ای از زیرفضای متشکل از تمام آن بردارهای $x$ که برای آن‌ها $[x, y] = 0$ است را بیابید.

تمرین ۵. اثبات کنید که اگر $m < n$ ، و اگر $y_{1}, \dots, y_{m}$ تابعک‌های خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ باشند، آنگاه یک بردار ناصفر $x$ در $𝒱$ وجود دارد به طوری که $[x, y_{j}] = 0$ برای $j = 1, \dots, m$ . این نتیجه درباره جواب‌های معادلات خطی چه می‌گوید؟

تمرین ۶. فرض کنید که $m < n$ و اینکه $y_{1}, \dots, y_{m}$ تابعک‌های خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ هستند. تحت چه شرایطی روی اسکالرهای $α_{1}, \dots, α_{m}$ این گزاره صحیح است که برداری مانند $x$ در $𝒱$ وجود دارد به طوری که $[x, y_{j}] = α_{j}$ برای $j = 1, \dots, m$ ؟ این نتیجه درباره جواب‌های معادلات خطی چه می‌گوید؟

تمرین ۷. اگر $𝒱$ یک فضای برداری $n$ -بعدی روی یک میدان متناهی باشد، و اگر $0 \leq m \leq n$ باشد، آنگاه تعداد زیرفضاهای $m$ -بعدی از $𝒱$ با تعداد زیرفضاهای $(n - m)$ -بعدی برابر است.

تمرین ۸.

اثبات کنید که اگر $𝒮$ هر زیرمجموعه‌ای از یک فضای برداری متناهی‌بعد باشد، آنگاه $𝒮^{00}$ با زیرفضای تولید شده توسط $𝒮$ منطبق است.
اگر $𝒮$ و $𝒯$ زیرمجموعه‌هایی از یک فضای برداری باشند، و اگر $𝒮 \subset 𝒯$ باشد، آنگاه $𝒯^{0} \subset 𝒮^{0}$ .
اگر $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضاهایی از یک فضای برداری متناهی‌بعد باشند، آنگاه $(ℳ \cap 𝒩)^{0} = ℳ^{0} + 𝒩^{0}$ و $(ℳ + 𝒩)^{0} = ℳ^{0} \cap 𝒩^{0}$ . (راهنمایی: به طور مکرر از (ب) و از بخش: پوچ‌سازها ، قضیه ۲ استفاده کنید.)
آیا نتیجه (ج) برای فضاهای برداری که لزوماً متناهی‌بعد نیستند معتبر است؟

تمرین ۹. این تمرین مربوط به فضاهای برداری است که لزوماً متناهی‌بعد نیستند؛ بیشتر بخش‌های آن (اما نه همه) به نوعی استدلال ترافینیته (فرا متناهی) بستگی دارد که برای اثبات اینکه هر فضای برداری دارای یک پایه است مورد نیاز است (ر.ک. بخش: پایه‌ها ، تمرین ۱۱).

فرض کنید که $f$ و $g$ توابع با مقادیر اسکالر هستند که روی یک مجموعه $𝒳$ تعریف شده‌اند؛ اگر $α$ و $β$ اسکالر باشند، $h = α f + β g$ را برای تابعی بنویسید که با $h (x) = α f (x) + β g (x)$ برای تمام $x$ ها در $𝒳$ تعریف می‌شود. مجموعه تمام چنین توابعی با توجه به این تعریف از عملیات خطی، یک فضای برداری است، و همین امر برای مجموعه تمام توابع متناهیاً ناصفر نیز صادق است. (یک تابع $f$ روی $𝒳$ متناهیاً ناصفر است اگر مجموعه آن عناصر $x$ از $𝒳$ که برای آن‌ها $f (x) \neq 0$ است، متناهی باشد.)
هر فضای برداری با مجموعه تمام توابع متناهیاً ناصفر روی یک مجموعه هم‌ریخت است.
اگر $𝒱$ یک فضای برداری با پایه $𝒳$ باشد، و اگر $f$ یک تابع با مقادیر اسکالر باشد که روی مجموعه $𝒳$ تعریف شده است، آنگاه یک تابعک خطی یکتای $y$ روی $𝒱$ وجود دارد به طوری که $[x, y] = f (x)$ برای تمام $x$ ها در $𝒳$ .
از (الف)، (ب)، و (ج) استفاده کنید تا نتیجه بگیرید که هر فضای برداری $𝒱$ با یک زیرفضا از هم‌ریخت است.
کدام فضاهای برداری با دوگان‌های خودشان هم‌ریخت هستند؟
اگر $𝒴$ یک زیرمجموعه مستقل خطی از یک فضای برداری $𝒱$ باشد، آنگاه پایه‌ای از $𝒱$ وجود دارد که شامل $𝒴$ است. (این نتیجه را با قضیه بخش: پایه‌ها مقایسه کنید.)
اگر $𝒳$ یک مجموعه باشد و اگر $y$ عنصری از $𝒳$ باشد، $f_{y}$ را برای تابع با مقادیر اسکالر تعریف شده روی $𝒳$ بنویسید به طوری که $f_{y} (x) = 1$ یا $0$ بسته به اینکه $x = y$ یا $x \neq y$ . فرض کنید $𝒴$ مجموعه تمام توابع $f_{y}$ به همراه تابع $g$ باشد که با $g (x) = 1$ برای تمام $x$ ها در $𝒳$ تعریف شده است. اثبات کنید که اگر $𝒳$ نامتناهی باشد، آنگاه $𝒴$ یک زیرمجموعه مستقل خطی از فضای برداری تمام توابع با مقادیر اسکالر روی $𝒳$ است.
تناظر طبیعی از $𝒱$ به برای تمام فضاهای برداری تعریف شده است (نه فقط برای فضاهای متناهی‌بعد)؛ اگر $x$ در $𝒱$ باشد، عنصر متناظر $z_{0}$ از را با نوشتن $z_{0} (y) = [x_{0}, y]$ برای تمام $y$ ها در تعریف کنید. اثبات کنید که اگر $𝒱$ بازتابنده باشد (یعنی اگر هر $x$ در $𝒱$ بتواند به این روش با یک انتخاب مناسب از $x_{0}$ به دست آید)، آنگاه $𝒱$ متناهی‌بعد است. (راهنمایی: را به عنوان مجموعه تمام توابع با مقادیر اسکالر روی یک مجموعه نمایش دهید، و سپس از (ز)، (و)، و (ج) استفاده کنید تا عنصری از بسازید که توسط عنصری از $𝒱$ ایجاد نشده باشد.)

هشدار: این ادعا که یک فضای برداری بازتابنده است اگر و تنها اگر متناهی‌بعد باشد، بیشتر متخصصان این موضوع را شگفت‌زده خواهد کرد. دلیل آن این است که تعمیم مرسوم و پربار مفهوم بازتابندگی به فضاهای نامتناهی‌بعد، تعمیم ساده‌لوحانه ارائه شده در (ح) نیست.