میدان‌ها

در آنچه در ادامه می‌آید، فرصت استفاده از رده‌های مختلفی از اعداد (مانند رده‌ی تمام اعداد حقیقی یا رده‌ی تمام اعداد مختلط) را خواهیم داشت. از آنجا که نباید در این مرحله‌ی اولیه، خود را به رده‌ی خاصی محدود کنیم، از این ترفند استفاده می‌کنیم که به اعداد به عنوان اسکالرها اشاره کنیم. خواننده هیچ چیز اساسی را از دست نخواهد داد اگر همواره اسکالرها را به عنوان اعداد حقیقی یا اعداد مختلط تفسیر کند؛ در مثال‌هایی که مطالعه خواهیم کرد، هر دو رده ظاهر خواهند شد. برای مشخص بودن (و همچنین به منظور عمل کردن در سطح مناسبی از عمومیت) در ادامه به فهرست کردن تمام حقایق کلی درباره‌ی اسکالرها که نیاز به فرض کردن آن‌ها داریم، می‌پردازیم.

(الف) به هر جفت α و β از اسکالرها، یک اسکالر α + β متناظر است که مجموع α و β نامیده می‌شود، به گونه‌ای که

  1. جمع تعویض‌پذیر است، α + β = β + α ،
  2. جمع شرکت‌پذیر است، α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ ،
  3. یک اسکالر منحصربه‌فرد 0 (که صفر نامیده می‌شود) وجود دارد به طوری که برای هر اسکالر α ، α + 0 = α ، و
  4. به هر اسکالر α یک اسکالر منحصربه‌فرد − α متناظر است به طوری که α + ( − α ) = 0 .

(ب) به هر جفت α و β از اسکالرها، یک اسکالر α β متناظر است که حاصل‌ضرب α و β نامیده می‌شود، به گونه‌ای که

  1. ضرب تعویض‌پذیر است، α β = β α ،
  2. ضرب شرکت‌پذیر است، α ( β γ ) = ( α β ) γ ،
  3. یک اسکالر غیرصفر منحصربه‌فرد 1 (که یک نامیده می‌شود) وجود دارد به طوری که برای هر اسکالر α ، α 1 = α ، و
  4. به هر اسکالر غیرصفر α یک اسکالر منحصربه‌فرد α − 1 (یا 1 α ) متناظر است به طوری که α α − 1 = 1 .

(ج) ضرب نسبت به جمع توزیع‌پذیر است، α ( β + γ ) = α β + α γ .

اگر جمع و ضرب در مجموعه‌ای از اشیاء (اسکالرها) به گونه‌ای تعریف شوند که شرایط (الف) ، (ب) و (ج) برقرار باشند، آنگاه آن مجموعه (به همراه عملگرهای داده‌شده) یک میدان نامیده می‌شود. بنابراین، برای مثال، مجموعه‌ی ℚ از تمام اعداد گویا (با تعریف‌های معمولی مجموع و حاصل‌ضرب) یک میدان است، و همین امر برای مجموعه‌ی ℝ از تمام اعداد حقیقی و مجموعه‌ی ℂ از تمام اعداد مختلط نیز صادق است.

تمرین‌ها

تمرین ۱. تقریباً تمام قوانین حساب مقدماتی از اصول موضوعه‌ی تعریف‌کننده‌ی یک میدان نتیجه می‌شوند. به ویژه ثابت کنید که اگر 𝔽 یک میدان باشد، و اگر α , β و γ به 𝔽 تعلق داشته باشند، آنگاه روابط زیر برقرارند.

  1. 0 + α = α .
  2. اگر α + β = α + γ ، آنگاه β = γ .
  3. α + ( β − α ) = β . (در اینجا β − α = β + ( − α ) .)
  4. α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0 . (برای وضوح یا تاکید، گاهی اوقات از نقطه برای نشان دادن ضرب استفاده می‌کنیم.)
  5. ( − 1 ) α = − α .
  6. ( − α ) ( − β ) = α β .
  7. اگر α β = 0 ، آنگاه یا α = 0 یا β = 0 (یا هر دو).

تمرین ۲. 

  1. آیا مجموعه‌ی تمام اعداد صحیح مثبت یک میدان است؟ (در سیستم‌های آشنا، مانند اعداد صحیح، ما تقریباً همیشه از عملگرهای معمولی جمع و ضرب استفاده خواهیم کرد. در موارد نادری که از این قرارداد عدول کنیم، هشدار کافی خواهیم داد. در مورد «مثبت»، منظور ما از این کلمه، در اینجا و جاهای دیگر این کتاب، «بزرگتر یا مساوی صفر» است. اگر قرار باشد 0 حذف شود، خواهیم گفت «اکیداً مثبت».)
  2. در مورد مجموعه‌ی تمام اعداد صحیح چطور؟
  3. آیا می‌توان پاسخ این پرسش‌ها را با تعریف مجدد جمع یا ضرب (یا هر دو) تغییر داد؟

تمرین ۳. فرض کنید m یک عدد صحیح باشد، m ≥ 2 ، و فرض کنید ℤ m مجموعه‌ی تمام اعداد صحیح مثبت کمتر از m باشد، ℤ m = { 0 , 1 , … , m − 1 } . اگر α و β در ℤ m باشند، فرض کنید α + β کوچک‌ترین باقی‌مانده‌ی مثبتی باشد که از تقسیم مجموع (معمولی) α و β بر m به دست می‌آید، و به طور مشابه، فرض کنید α β کوچک‌ترین باقی‌مانده‌ی مثبتی باشد که از تقسیم حاصل‌ضرب (معمولی) α و β بر m به دست می‌آید. (مثال: اگر m = 12 ، آنگاه 3 + 11 = 2 و 3 ⋅ 11 = 9 .)

  1. ثابت کنید که ℤ m یک میدان است اگر و تنها اگر m یک عدد اول باشد.
  2. مقدار − 1 در ℤ 5 چیست؟
  3. مقدار 1 3 در ℤ 7 چیست؟

تمرین ۴. مثال ℤ p (که در آن p یک عدد اول است) نشان می‌دهد که تقریباً تمام قوانین حساب مقدماتی در میدان‌ها برقرار نیستند؛ برای مثال در ℤ 2 ، 1 + 1 = 0 . ثابت کنید که اگر 𝔽 یک میدان باشد، آنگاه یا نتیجه‌ی جمع مکرر 1 با خودش همیشه مخالف 0 است، یا اینکه اولین باری که برابر با 0 می‌شود زمانی رخ می‌دهد که تعداد جملات جمع یک عدد اول باشد. (مشخصه ی میدان 𝔽 در حالت اول برابر با 0 و در حالت دوم برابر با آن عدد اولِ حیاتی تعریف می‌شود.)

تمرین ۵. فرض کنید ℚ ( 2 ) مجموعه‌ی تمام اعداد حقیقی به شکل α + β 2 باشد، که در آن α و β گویا هستند.

  1. آیا ℚ ( 2 ) یک میدان است؟
  2. اگر فرض شود α و β باید عدد صحیح باشند چطور؟

تمرین ۶. 

  1. آیا مجموعه‌ی تمام چندجمله‌ای‌ها با ضرایب صحیح یک میدان تشکیل می‌دهد؟
  2. اگر ضرایب مجاز به حقیقی بودن باشند چطور؟

تمرین ۷. فرض کنید 𝔽 مجموعه‌ی تمام زوج‌های (مرتب) ( α , β ) از اعداد حقیقی باشد.

  1. اگر جمع و ضرب به صورت ( α , β ) + ( γ , δ ) = ( α + γ , β + δ ) و ( α , β ) ( γ , δ ) = ( α γ , β δ ) تعریف شوند، آیا 𝔽 به یک میدان تبدیل می‌شود؟
  2. اگر جمع و ضرب به صورت ( α , β ) + ( γ , δ ) = ( α + γ , β + δ ) و ( α , β ) ( γ , δ ) = ( α γ − β δ , α δ + β γ ) تعریف شوند، آیا در این صورت 𝔽 یک میدان است؟
  3. چه اتفاقی می‌افتد (در هر دو مورد قبلی) اگر به جای آن، زوج‌های مرتب از اعداد مختلط را در نظر بگیریم؟