مجموع‌های مستقیم

ما چندین روش کلی مهم برای ساختن فضاهای برداری جدید از فضاهای قدیمی را مطالعه خواهیم کرد؛ در این بخش با مطالعه ساده‌ترین آن‌ها آغاز می‌کنیم.

تعریف ۱. اگر 𝒰 و 𝒱 فضاهای برداری (روی یک میدان یکسان) باشند، مجموع مستقیم آن‌ها فضای برداری 𝒲 (که با 𝒰 ⊕ 𝒱 نشان داده می‌شود) است که عناصر آن تمام جفت‌های مرتب ⟨ x , y ⟩ هستند به طوری که x در 𝒰 و y در 𝒱 باشد، با عملیات خطی که به صورت زیر تعریف می‌شوند α 1 ⟨ x 1 , y 1 ⟩ + α 2 ⟨ x 2 , y 2 ⟩ = ⟨ α 1 x 1 + α 2 x 2 , α 1 y 1 + α 2 y 2 ⟩ .  

مشاهده می‌کنیم که تشکیل مجموع مستقیم مشابه روشی است که صفحه از دو محور مختصات خود ساخته می‌شود.

ادامه می‌دهیم تا رابطه این مفهوم را با برخی از مفاهیم پیشین خود بررسی کنیم.

مجموعه تمام بردارها (در 𝒲 ) به فرم ⟨ x , 0 ⟩ یک زیرفضا از 𝒲 است؛ تناظر ⟨ x , 0 ⟩ ⇄ x نشان می‌دهد که این زیرفضا با 𝒰 یکریخت است. یک بار دیگر، مناسب است که دچار یک بی‌دقتی منطقی شویم و با یکی گرفتن x و ⟨ x , 0 ⟩ ، از 𝒰 به عنوان یک زیرفضا از 𝒲 صحبت کنیم. به طور مشابه، البته، بردارهای y از 𝒱 را می‌توان با بردارهایی به فرم ⟨ 0 , y ⟩ در 𝒲 یکی گرفت، و می‌توانیم 𝒱 را به عنوان یک زیرفضا از 𝒲 در نظر بگیریم. این اصطلاح‌شناسی، مسلماً، کاملاً دقیق نیست، اما دور زدن دشواری منطقی در اینجا بسیار آسان‌تر از مورد فضای دوگان دوم است. ما می‌توانستیم مجموع مستقیم 𝒰 و 𝒱 را (حداقل در حالتی که 𝒰 و 𝒱 هیچ بردار غیرصفر مشترکی ندارند) به عنوان مجموعه‌ای متشکل از تمام x ها در 𝒰 ، تمام y ها در 𝒱 ، و تمام آن جفت‌های ⟨ x , y ⟩ که برای آن‌ها x ≠ 0 و y ≠ 0 است، تعریف کنیم. این تعریف نظریه‌ای را ارائه می‌دهد که در تمام جزئیات مشابه نظریه‌ای است که ما بسط خواهیم داد، اما به دلیل تمایزات حالتی که ایجاب می‌کند، اثبات قضایا را دشوار و آزاردهنده می‌سازد. با این حال، واضح است که از دیدگاه این تعریف، 𝒰 در واقع یک زیرمجموعه از 𝒰 ⊕ 𝒱 است. بنابراین، در این معنا، یا در معنای یکریختیِ تعریفی که اتخاذ کردیم، این پرسش را مطرح می‌کنیم: رابطه بین 𝒰 و 𝒱 هنگامی که این فضاها را به عنوان زیرفضاهایی از فضای بزرگ 𝒲 در نظر می‌گیریم، چیست؟

قضیه ۱. اگر 𝒰 و 𝒱 زیرفضاهایی از یک فضای برداری 𝒲 باشند، آنگاه سه شرط زیر معادل هستند.

  1. 𝒲 = 𝒰 ⊕ 𝒱 .
  2. 𝒰 ∩ 𝒱 = 𝒪 و 𝒰 + 𝒱 = 𝒲 (یعنی، 𝒰 و 𝒱 مکمل یکدیگرند).
  3. هر بردار z در 𝒲 را می‌توان به فرم z = x + y نوشت، به طوری که x در 𝒰 و y در 𝒱 باشد، و آن هم دقیقاً به یک روش.

اثبات. ما نتایج (۱) ⟹ (۲) ⟹ (۳) ⟹ (۱) را اثبات خواهیم کرد.

(۱) ⟹ (۲). فرض می‌کنیم که 𝒲 = 𝒰 ⊕ 𝒱 . اگر z = ⟨ x , y ⟩ هم در 𝒰 و هم در 𝒱 قرار داشته باشد، آنگاه x = y = 0 ، بنابراین z = 0 ؛ این ثابت می‌کند که 𝒰 ∩ 𝒱 = 𝒪 . از آنجا که نمایش z = ⟨ x , 0 ⟩ + ⟨ 0 , y ⟩ برای هر z معتبر است، نتیجه می‌شود که 𝒰 + 𝒱 = 𝒲 .

(۲) ⟹ (۳). اگر (۲) را فرض کنیم، به طوری که، به ویژه، 𝒰 + 𝒱 = 𝒲 ، آنگاه واضح است که هر z در 𝒲 دارای نمایش مطلوب، یعنی z = x + y است. برای اثبات یکتایی، فرض می‌کنیم z = x 1 + y 1 و z = x 2 + y 2 ، به طوری که x 1 و x 2 در 𝒰 و y 1 و y 2 در 𝒱 باشند. از آنجا که x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ، نتیجه می‌شود که x 1 − x 2 = y 2 − y 1 . از آنجا که عضو سمت چپ این معادله آخر در 𝒰 و عضو سمت راست در 𝒱 است، مجزا بودن 𝒰 و 𝒱 ایجاب می‌کند که x 1 = x 2 و y 1 = y 2 .

(۳) ⟹ (۱). این نتیجه‌گیری عملاً غیرقابل تمایز از تعریف مجموع مستقیم است. اگر مجموع مستقیم 𝒰 ⊕ 𝒱 را تشکیل دهیم، و سپس ⟨ x , 0 ⟩ و ⟨ 0 , y ⟩ را به ترتیب با x و y یکی بگیریم، ملزم به یکی گرفتن مجموع ⟨ x , y ⟩ = ⟨ x , 0 ⟩ + ⟨ 0 , y ⟩ با چیزی هستیم که فرض می‌کنیم عنصر عمومی z = x + y از 𝒲 باشد؛ از فرض یکتا بودن نمایش z به فرم x + y نتیجه می‌گیریم که تناظر بین ⟨ x , 0 ⟩ و x (و همچنین بین ⟨ 0 , y ⟩ و y ) یک‌به‌یک است. ◻

اگر دو زیرفضای 𝒰 و 𝒱 در یک فضای برداری 𝒲 مجزا باشند و 𝒲 را تولید کنند (یعنی، اگر شرط (۲) را برآورده کنند)، معمول است که بگوییم 𝒲 مجموع مستقیم داخلی 𝒰 و 𝒱 است؛ به صورت نمادین، مانند قبل، 𝒲 = 𝒰 ⊕ 𝒱 . اگر بخواهیم بر تمایز بین این مفهوم و مفهومی که قبلاً تعریف شد تأکید کنیم، مفهوم قبلی را با گفتن اینکه 𝒲 مجموع مستقیم خارجی 𝒰 و 𝒱 است توصیف می‌کنیم. با توجه به یکریختی‌های طبیعی که در بالا بحث شد، و به ویژه، با توجه به قضیه پیشین، این تمایز بیشتر جنبه وسواس علمی دارد تا مفهومی. مطابق با قرارداد یکی‌گیری ما، معمولاً از آن چشم‌پوشی خواهیم کرد.