فضاهای دوگان

تعریف ۱. یک تابعک خطی روی یک فضای برداری $𝒱$ تابعی با مقادیر اسکالر $y$ است که برای هر بردار $x$ تعریف شده است، با این ویژگی که (به‌طور یکسان در بردارهای $x_{1}$ و $x_{2}$ و اسکالرهای $α_{1}$ و $α_{2}$ ) $y (α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2}) = α_{1} y (x_{1}) + α_{2} y (x_{2})$

بیایید به چند مثال از تابعک‌های خطی نگاه کنیم.

مثال ۱. برای $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ در $ℂ^{n}$ ، می‌نویسیم $y (x) = ξ_{1}$ . به‌طور کلی‌تر، فرض کنید $α_{1}, \dots, α_{n}$ هر $n$ اسکالر دلخواهی باشند و می‌نویسیم $y (x) = α_{1} ξ_{1} + \dots + α_{n} ξ_{n} .$

مشاهده می‌کنیم که برای هر تابعک خطی $y$ روی هر فضای برداری $y (0) = y (0 \cdot 0) = 0 \cdot y (0) = 0;$ به همین دلیل یک تابعک خطی، همان‌طور که تعریف کردیم، گاهی همگن نامیده می‌شود. به‌طور خاص در $ℂ^{n}$ ، اگر $y$ توسط $y (x) = α_{1} ξ_{1} + \dots + α_{n} ξ_{n} + β$ تعریف شده باشد، آنگاه $y$ یک تابعک خطی نیست مگر اینکه $β = 0$ باشد.

مثال ۲. برای هر چندجمله‌ای $x$ در $𝒫$ ، می‌نویسیم $y (x) = x (0)$ . به‌طور کلی‌تر، فرض کنید $α_{1}, \dots, α_{n}$ هر $n$ اسکالر دلخواهی باشند، فرض کنید $t_{1}, \dots, t_{n}$ هر $n$ عدد حقیقی دلخواهی باشند، و می‌نویسیم $y (x) = α_{1} x (t_{1}) + \dots + α_{n} x (t_{n}) .$

مثال دیگر، که از جهاتی حالت حدی مثال پیشین است، به صورت زیر به دست می‌آید. فرض کنید $(a, b)$ هر بازه متناهی روی محور $t$ حقیقی باشد، و فرض کنید $α$ هر تابع انتگرال‌پذیر با مقادیر مختلط باشد که روی $(a, b)$ تعریف شده است؛ $y$ را توسط $y (x) = \int_{a}^{b} α (t) x (t) d t$ تعریف می‌کنیم.

مثال ۳. روی یک فضای برداری دلخواه $𝒱$ ، $y$ را با نوشتن $y (x) = 0$ برای هر $x$ در $𝒱$ تعریف می‌کنیم.

آخرین مثال، نخستین اشاره به یک وضعیت کلی است. فرض کنید $𝒱$ هر فضای برداری باشد و فرض کنید مجموعه تمام تابعک‌های خطی روی $𝒱$ باشد. بیایید تابعک خطی تعریف‌شده در (۳) را با $0$ نشان دهیم (توضیح پایان بخش: نظرات را مقایسه کنید). اگر $y_{1}$ و $y_{2}$ تابعک‌های خطی روی $𝒱$ باشند و اگر $α_{1}$ و $α_{2}$ اسکالر باشند، بیایید $y$ را برای تابع تعریف‌شده توسط

$y (x) = α_{1} y_{1} (x) + α_{2} y_{2} (x) .$

به‌راحتی می‌توان دید که $y$ یک تابعک خطی است؛ ما آن را با $α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2}$ نشان می‌دهیم. با این تعاریف از مفاهیم خطی (صفر، جمع، ضرب اسکالر)، مجموعه یک فضای برداری را تشکیل می‌دهد، که فضای دوگان از $𝒱$ است.