فضاهای خارج‌قسمتی

ما از پیش می‌دانیم که اگر $ℳ$ یک زیرفضا از فضای برداری $𝒱$ باشد، آنگاه معمولاً زیرفضاهای بسیار دیگری مانند $𝒩$ در $𝒱$ وجود دارند به طوری که $ℳ\oplus 𝒩=𝒱$ . هیچ راه طبیعی برای انتخاب یکی از میان انبوه مکمل‌های $ℳ$ وجود ندارد. با این حال، یک ساختار طبیعی وجود دارد که با $ℳ$ و $𝒱$ یک فضای برداری جدید را مرتبط می‌سازد که، برای تمام مقاصد عملی، نقش یک مکمل برای $ℳ$ را ایفا می‌کند. مزیت نظری که این ساختار نسبت به تشکیل یک مکمل دلخواه دارد، دقیقاً ماهیت «طبیعی» آن است، یعنی این واقعیت که به انتخاب یک پایه، یا در واقع، به انتخاب هیچ چیز دیگری بستگی ندارد.

برای درک این ساختار، ایده خوبی است که تصویری را در ذهن داشته باشیم. به عنوان مثال، فرض کنید که $𝒱={ℝ}^2$ (صفحه مختصات حقیقی) باشد و $ℳ$ شامل تمام آن بردارهای $({\xi }_1,{\xi }_2)$ باشد که برای آن‌ها ${\xi }_2=0$ است (محور افقی). هر مکمل $ℳ$ یک خط (غیر از محور افقی) است که از مبدأ می‌گذرد. توجه کنید که هر چنین مکملی این ویژگی را دارد که هر خط افقی را دقیقاً در یک نقطه قطع می‌کند. ایده ساختاری که توصیف خواهیم کرد، ایجاد یک فضای برداری از مجموعه تمام خطوط افقی است.

ما با استفاده از $ℳ$ برای متمایز کردن زیرمجموعه‌های خاصی از $𝒱$ شروع می‌کنیم. (اکنون به حالت کلی بازگشته‌ایم.) اگر $x$ یک بردار دلخواه در $𝒱$ باشد، ما $x+ℳ$ را برای مجموعه تمام مجموع‌های $x+y$ با $y$ در $ℳ$ می‌نویسیم؛ هر مجموعه‌ای به فرم $x+ℳ$ یک هم‌دسته از $ℳ$ نامیده می‌شود. (در مورد مثال خط-صفحه در بالا، هم‌دسته‌ها همان خطوط افقی هستند.) توجه داشته باشید که یک هم‌دسته واحد می‌تواند از دو بردار متفاوت ناشی شود، یعنی حتی اگر $x\ne y$ باشد، ممکن است $x+ℳ=y+ℳ$ باشد. با این وجود، کاملاً منطقی است که از یک هم‌دسته، مثلاً $\mathscr{H}$ ، از $ℳ$ صحبت کنیم، بدون اینکه مشخص کنیم $\mathscr{H}$ از کدام عنصر (یا عناصر) ناشی شده است؛ گفتن اینکه $\mathscr{H}$ یک هم‌دسته (از $ℳ$ ) است، به سادگی به این معناست که حداقل یک $x$ وجود دارد به طوری که $\mathscr{H}=x+ℳ$ .

اگر $\mathscr{H}$ و $𝒦$ هم‌دسته‌هایی (از $ℳ$ ) باشند، ما $\mathscr{H}+𝒦$ را برای مجموعه تمام مجموع‌های $u+v$ با $u$ در $\mathscr{H}$ و $v$ در $𝒦$ می‌نویسیم؛ ما ادعا می‌کنیم که $\mathscr{H}+𝒦$ نیز یک هم‌دسته از $ℳ$ است. در واقع، اگر $\mathscr{H}=x+ℳ$ و $𝒦=y+ℳ$ باشد، آنگاه هر عنصر از $\mathscr{H}+𝒦$ به هم‌دسته $(x+y)+ℳ$ تعلق دارد (توجه کنید که $ℳ+ℳ=ℳ$ )، و برعکس، هر عنصر از $(x+y)+ℳ$ در $\mathscr{H}+𝒦$ است. (اگر، برای مثال، $z$ در $ℳ$ باشد، آنگاه $(x+y)+z=(x+z)+(y+0)$ .) به عبارت دیگر، $\mathscr{H}+𝒦=(x+y)+ℳ$ ، به طوری که $\mathscr{H}+𝒦$ یک هم‌دسته است، همانطور که ادعا شد. ما اثبات اینکه جمع هم‌دسته‌ها جابجایی و شرکت‌پذیر است را به خواننده واگذار می‌کنیم. هم‌دسته $ℳ$ (یعنی $0+ℳ$ ) به گونه‌ای است که $\mathscr{H}+ℳ=\mathscr{H}$ برای هر هم‌دسته $\mathscr{H}$ ، و علاوه بر این، تنها هم‌دسته‌ای با این ویژگی است. (اگر $(x+ℳ)+(y+ℳ)=x+ℳ$ ، آنگاه $x+ℳ$ شامل $x+y$ است، به طوری که $x+y=x+u$ برای مقداری $u$ در $ℳ$ ؛ این دلالت بر آن دارد که $y$ در $ℳ$ است، و در نتیجه $y+ℳ=ℳ$ .) اگر $\mathscr{H}$ یک هم‌دسته باشد، آنگاه مجموعه‌ای که شامل تمام آن بردارهای $-u$ باشد، با $u$ در $\mathscr{H}$ ، خود یک هم‌دسته است، که آن را با $-\mathscr{H}$ نشان خواهیم داد. هم‌دسته $-\mathscr{H}$ به گونه‌ای است که $\mathscr{H}+(-\mathscr{H})=ℳ$ ، و علاوه بر این، $-\mathscr{H}$ تنها هم‌دسته‌ای با این ویژگی است. خلاصه اینکه: جمع هم‌دسته‌ها در اصول موضوعه (A) از بخش: فضاهای برداری صدق می‌کند.

اگر $\mathscr{H}$ یک هم‌دسته باشد و اگر $\alpha$ یک اسکالر باشد، ما $\alpha \mathscr{H}$ را برای مجموعه‌ای می‌نویسیم که شامل تمام بردارهای $\alpha u$ با $u$ در $\mathscr{H}$ در صورتی که $\alpha \ne 0$ باشد؛ هم‌دسته $0\cdot \mathscr{H}$ به عنوان $ℳ$ تعریف می‌شود. یک بررسی ساده نشان می‌دهد که این مفهوم از ضرب در اصول موضوعه (B) و (C) از بخش: فضاهای برداری صدق می‌کند.

بنابراین ثابت شده است که مجموعه تمام هم‌دسته‌ها با توجه به عملیات خطی تعریف شده در بالا، یک فضای برداری است. این فضای برداری، فضای خارج‌قسمتی از $𝒱$ به پیمانه $ℳ$ نامیده می‌شود؛ و با $𝒱/ℳ$ نشان داده می‌شود.