فرم‌های چندخطی

اکنون آماده‌ایم تا به جبر چندخطی بپردازیم. مفهوم پایه، مفهوم فرم چندخطی (یا تابعک) است که تعمیم ساده‌ای از مفهوم فرم دوخطی می‌باشد. فرض کنید ${𝒱}_1,\dots ,{𝒱}_k$ فضاهای برداری (روی یک میدان یکسان) باشند؛ یک فرم k-خطی ( $k=1,2,3,\dots$ ) تابعی با مقادیر اسکالر روی مجموع مستقیم ${𝒱}_1\oplus \cdots \oplus {𝒱}_k$ است با این ویژگی که برای هر مقدار ثابت از هر $k-1$ آرگومان، به صورت خطی به آرگومان باقی‌مانده وابسته است. فرم‌های $1$ -خطی همان تابعک‌های خطی (روی ${𝒱}_1$ ) هستند، و فرم‌های $2$ -خطی همان فرم‌های دوخطی (روی ${𝒱}_1\oplus {𝒱}_2$ ) می‌باشند. فرم‌های $3$ -خطی (یا سه‌خطی) توابع با مقادیر اسکالر $w$ (روی ${𝒱}_1\oplus {𝒱}_2\oplus {𝒱}_3$ ) هستند به طوری که $$w({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2,y,z)={\alpha }_{1}w(x_1,y,z)+{\alpha }_{2}w(x_2,y,z),$$ و به طوری که اتحادهای مشابهی برای $w(x,{\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2,z)$ و $w(x,y,{\alpha }_1{z}_1+{\alpha }_2{z}_2)$ برقرار باشند. تابعی که برای مقداری از $k$ ، $k$ -خطی باشد، فرم چندخطی نامیده می‌شود.

بخش زیادی از نظریه فرم‌های دوخطی به راحتی به حالت چندخطی تعمیم می‌یابد. بنابراین، به عنوان مثال، اگر $w_1$ و $w_2$ فرم‌های $k$ -خطی باشند، اگر ${\alpha }_1$ و ${\alpha }_2$ اسکالر باشند، و اگر $w$ توسط $$w(x_1,\dots ,x_k)={\alpha }_1{w}_1(x_1,\dots ,x_k)+{\alpha }_2{w}_2(x_1,\dots ,x_k)$$ تعریف شود هرگاه که $x_i$ در ${𝒱}_i$ باشد، $i=1,\dots ,k$ ، آنگاه $w$ یک فرم $k$ -خطی است که با ${\alpha }_1{w}_1+{\alpha }_2{w}_2$ نشان داده می‌شود. مجموعه تمام فرم‌های $k$ -خطی با توجه به این تعریف از عملیات خطی، یک فضای برداری است؛ بُعد آن فضای برداری حاصل‌ضرب $n_1\dots n_k$ است، که البته در آن $n_i$ بُعد ${𝒱}_i$ می‌باشد. اثبات تمام این گزاره‌ها دقیقاً مانند اثبات‌های (در بخش: فرم‌های دوخطی ) گزاره‌های متناظر برای حالت دوخطی است. ما می‌توانستیم به تقلید از نظریه دوخطی ادامه دهیم و به ویژه، حاصل‌ضرب‌های تانسوری چندگانه را مطالعه کنیم. به منظور به حداقل رساندن این گریز چندخطی، در عوض در مسیری متفاوت، خاص‌تر و برای اهداف ما مفیدتر پیش خواهیم رفت.

در ادامه، توجه خود را به حالتی محدود می‌کنیم که در آن $k$ فضای ${𝒱}_i$ همگی با یک فضای برداری یکسان برابر باشند، فرض کنید $𝒱$ ؛ فرض خواهیم کرد که $𝒱$ متناهی‌بُعد است. در این حالت، به یک «فرم $k$ -خطی روی ${𝒱}_1\oplus \cdots \oplus {𝒱}_k$ » به سادگی «فرم $k$ -خطی روی $𝒱$ » یا حتی ساده‌تر، «فرم $k$ -خطی» می‌گوییم؛ این بیان کمی غیردقیق است اما در این بافت، کاملاً بدون ابهام می‌باشد. اگر بُعد $𝒱$ برابر $n$ باشد، آنگاه بُعد فضای برداری تمام فرم‌های $k$ -خطی برابر $n^k$ است. فضای $𝒱$ و البته بُعد $n$ در سراسر بحث پیش رو ثابت در نظر گرفته خواهند شد.

ویژگی خاص حالتی که در حال مطالعه آن هستیم، به ما امکان می‌دهد تکنیکی را به کار ببریم که به طور جهانی در دسترس نیست؛ این تکنیک، عمل کردن روی فرم‌های $k$ -خطی توسط جایگشت‌هایی در ${𝒮}_k$ است. اگر $w$ یک فرم $k$ -خطی باشد، و اگر $\pi$ در ${𝒮}_k$ باشد، می‌نویسیم $$\pi w(x_1,\dots ,x_k)=w(x_{\pi (1)},\dots ,x_{\pi (k)})$$ هرگاه که $x_1,\dots ,x_k$ در $𝒱$ باشند. تابع $\pi w$ که بدین ترتیب تعریف می‌شود، دوباره یک فرم $k$ -خطی است. (مقدار $\pi w$ در $(x_1,\dots ,x_k)$ صادقانه‌تر با $(\pi w)(x_1,\dots ,x_k)$ نشان داده می‌شود؛ با این حال، از آنجا که نمادگذاری ساده‌تر به نظر نمی‌رسد باعث هیچ‌گونه سردرگمی شود، به استفاده از آن ادامه خواهیم داد.)

با استفاده از نحوه عمل جایگشت‌ها روی فرم‌های $k$ -خطی، می‌توانیم مجموعه‌های جالبی از چنین فرم‌هایی را تعریف کنیم. بنابراین، به عنوان مثال، یک فرم $k$ -خطی $w$ ، متقارن نامیده می‌شود اگر $\pi w=w$ برای هر جایگشت $\pi$ در ${𝒮}_k$ برقرار باشد. (توجه داشته باشید که اگر $k=1$ باشد، آنگاه این شرط به طور بدیهی برآورده می‌شود.) مجموعه تمام فرم‌های $k$ -خطی متقارن، یک زیرفضا از فضای تمام فرم‌های $k$ -خطی است. از این رو، به طور خاص، مبدأ آن فضا، یعنی فرم $k$ -خطی $0$ ، متقارن است. برای یک مثال غیربدیهی، فرض کنید $k=2$ باشد، فرض کنید $y_1$ و $y_2$ تابعک‌های خطی روی $𝒱$ باشند، و بنویسید $$w(x_1,x_2)=y_1(x_1)y_2(x_2)+y_1(x_2)y_2(x_1).$$ این رویه برای ساخت فرم‌های $k$ -خطی دارای تعمیم‌های مفیدی است. بنابراین، به عنوان مثال، اگر باشد، و اگر $u$ یک فرم $h$ -خطی و $v$ یک فرم $(k-h)$ -خطی باشد، آنگاه معادله $$w(x_1,\dots ,x_k)=u(x_1,\dots ,x_h)\cdot v(x_{h+1},\dots ,x_k)$$ یک فرم $k$ -خطی $w$ را تعریف می‌کند که به طور کلی متقارن نیست. یک فرم $k$ -خطی متقارن را می‌توان از $w$ (یا در واقع، از هر فرم $k$ -خطی داده شده) با تشکیل $\sum \pi w$ به دست آورد، جایی که مجموع‌یابی روی تمام جایگشت‌های $\pi$ در ${𝒮}_k$ گسترش می‌یابد.

ما دیگر فرم‌های $k$ -خطی متقارن را مطالعه نخواهیم کرد. ما آن‌ها را در اینجا معرفی کردیم زیرا یک کلاس بسیار طبیعی از توابع قابل تعریف بر حسب جایگشت‌ها را تشکیل می‌دهند. ما اکنون آن‌ها را به نفع کلاس دیگری از توابع که نقش بسیار بزرگ‌تری در نظریه ایفا می‌کنند، رها می‌کنیم.