زیرفضاها

اشیای مورد توجه در هندسه تنها نقاط فضای مورد بررسی نیستند، بلکه خطوط، صفحات و غیره آن نیز می‌باشند. ما به مطالعه همتاهای این عناصر با ابعاد بالاتر، در فضاهای برداری عمومی، می‌پردازیم.

یک نکته هشداردهنده: همراه با هر بردار $x$ ، یک زیرفضا همچنین شامل $x-x$ نیز می‌شود. بنابراین اگر زیرفضاها را به عنوان خطوط و صفحات تعمیم‌یافته تفسیر کنیم، باید دقت کنیم که تنها خطوط و صفحاتی را در نظر بگیریم که از مبدأ می‌گذرند.

یک زیرفضای $ℳ$ در یک فضای برداری $𝒱$ خودش یک فضای برداری است؛ خواننده به راحتی می‌تواند تأیید کند که، با همان تعاریف جمع و ضرب اسکالر که در $𝒱$ داشتیم، این مجموعه اصول (A) ، (B) ، و (C) از بخش: فضاهای برداری را ارضا می‌کند.

دو مثال خاص از زیرفضاها عبارتند از:

1. مجموعه $𝒪$ که تنها شامل مبدأ است، و
2. کل فضای $𝒱$ .

مثال‌های زیر کمتر بدیهی هستند.

ما به مقداری نمادگذاری و اصطلاح‌شناسی نیاز داریم. برای هر گردایه $\{{ℳ}_{\nu }\}$ از زیرمجموعه‌های یک مجموعه داده شده (مثلاً، برای یک گردایه از زیرفضاها در یک فضای برداری $𝒱$ )، ما $\bigcap _{\nu }{ℳ}_{\nu }$ را برای اشتراک تمام ${ℳ}_{\nu }$ ها می‌نویسیم، یعنی برای مجموعه نقاط مشترک بین همه آن‌ها. همچنین، اگر $ℳ$ و $𝒩$ زیرمجموعه‌هایی از یک مجموعه باشند، ما $ℳ\subset 𝒩$ را می‌نویسیم اگر $ℳ$ زیرمجموعه‌ای از $𝒩$ باشد، یعنی اگر هر عنصر $ℳ$ در $𝒩$ نیز قرار داشته باشد. (توجه کنید که ما امکان $ℳ=𝒩$ را رد نمی‌کنیم؛ بنابراین ما $𝒱\subset 𝒱$ و همچنین $𝒪\subset 𝒱$ را می‌نویسیم.) برای یک گردایه متناهی $\{{ℳ}_1,\dots ,{ℳ}_n\}$ ، ما ${ℳ}_1\cap \cdots \cap {ℳ}_n$ را به جای $\bigcap _{\nu }{ℳ}_{\nu }$ خواهیم نوشت؛ در صورتی که دو زیرفضای $ℳ$ و $𝒩$ چنان باشند که $ℳ\cap 𝒩=𝒪$ ، خواهیم گفت که $ℳ$ و $𝒩$ مجزا هستند.