حاصل‌ضرب‌های تانسوری

اگر 𝒰 و 𝒱 فضاهای برداری (روی یک میدان یکسان) باشند، آنگاه جمع مستقیم آن‌ها 𝒲 = 𝒰 ⊕ 𝒱 یک فضای برداری دیگر است؛ ما قصد داریم توابع خاصی را روی 𝒲 مطالعه کنیم. (برای اهداف کنونی، تعریف اولیه 𝒰 ⊕ 𝒱 ، از طریق زوج‌های مرتب، تعریف مناسبی است.) مقدار چنین تابعی، مثلاً w ، در یک عنصر ⟨ x , y ⟩ از 𝒲 با w ( x , y ) نشان داده می‌شود. مطالعه توابع خطی روی 𝒲 دیگر چندان برای ما جالب نیست؛ حقایق اصلی مربوط به آن‌ها در بخش: دوگان یک جمع مستقیم بحث شد. توابعی که اکنون می‌خواهیم در نظر بگیریم، توابع دوخطی هستند؛ آن‌ها، طبق تعریف، توابع اسکالر-مقدار روی 𝒲 هستند با این ویژگی که برای هر مقدار ثابت از هر یک از آرگومان‌ها، به صورت خطی به آرگومان دیگر وابسته‌اند. دقیق‌تر بگوییم، یک تابع اسکالر-مقدار w روی 𝒲 یک فرم دوخطی (یا تابعی دوخطی ) است اگر w ( α 1 x 1 + α 2 x 2 , y ) = α 1 w ( x 1 , y ) + α 2 w ( x 2 , y ) و w ( x , α 1 y 1 + α 2 y 2 ) = α 1 w ( x , y 1 ) + α 2 w ( x , y 2 ) , به طور همانی در بردارها و اسکالرهای درگیر.

در یک موقعیت خاص، قبلاً با تابعی‌های دوخطی مواجه شده‌ایم. یعنی اگر 𝒱 فضای دوگان 𝒰 باشد، ، و اگر بنویسیم w ( x , y ) = [ x , y ] (نگاه کنید به بخش: کروشه‌ها )، آنگاه w یک تابعی دوخطی روی است. برای مثالی در یک موقعیت کلی‌تر، فرض کنید 𝒰 و 𝒱 فضاهای برداری دلخواهی باشند (مانند همیشه، روی یک میدان یکسان)، فرض کنید u و v به ترتیب عناصری از و باشند، و بنویسیم w ( x , y ) = u ( x ) v ( y ) برای تمام x ها در 𝒰 و y ها در 𝒱 . یک مثال حتی کلی‌تر با انتخاب تعداد متناهی عنصر در ، مثلاً u 1 , … , u k ، انتخاب همان تعداد متناهی عنصر در ، مثلاً v 1 , … , v k ، و نوشتن w ( x , y ) = u 1 ( x ) v 1 ( y ) + ⋯ + u k ( x ) v k ( y ) به دست می‌آید. اینکه کدام یک از کلمات، «تابعی» یا «فرم»، استفاده شود تا حدودی به زمینه و، کمی بیشتر، به سلیقه کاربر بستگی دارد. در این کتاب ما عموماً از «تابعی» همراه با «خطی» و از «فرم» همراه با «دوخطی» (و تعمیم‌های با ابعاد بالاتر آن) استفاده خواهیم کرد.

اگر w 1 و w 2 فرم‌های دوخطی روی 𝒲 باشند، و اگر α 1 و α 2 اسکالر باشند، ما w را برای تابع روی 𝒲 که توسط w ( x , y ) = α 1 w 1 ( x , y ) + α 2 w 2 ( x , y ) . تعریف شده است، می‌نویسیم. به آسانی می‌توان دید که w یک فرم دوخطی است؛ ما آن را با α 1 w 1 + α 2 w 2 نشان می‌دهیم. با این تعریف از عملیات خطی، مجموعه تمام فرم‌های دوخطی روی 𝒲 یک فضای برداری است. هدف اصلی ادامه این بخش تعیین این موضوع است (در حالت متناهی-بعد) که بُعد این فضا چگونه به ابعاد 𝒰 و 𝒱 بستگی دارد.

قضیه ۱. اگر 𝒰 یک فضای برداری n -بعدی با پایه { x 1 , … , x n } باشد، اگر 𝒱 یک فضای برداری m -بعدی با پایه { y 1 , … , y m } باشد، و اگر { α i j } هر مجموعه‌ای از n m اسکالر باشد ( i = 1 , … , n ؛ j = 1 , … , m )، آنگاه یک و تنها یک فرم دوخطی w روی 𝒰 ⊕ 𝒱 وجود دارد به طوری که w ( x i , y j ) = α i j برای تمام i ها و j ها.

اثبات. اگر x = ∑ i ξ i x i ، y = ∑ j η j y j ، و w یک فرم دوخطی روی 𝒰 ⊕ 𝒱 باشد به طوری که w ( x i , y j ) = α i j ، آنگاه w ( x , y ) = ∑ i ∑ j ξ i η j w ( x i , y j ) = ∑ i ∑ j ξ i η j α i j . از این معادله یگانگی w مشخص است؛ وجود یک w مناسب با خواندن همان معادله از راست به چپ، یعنی تعریف w توسط آن، اثبات می‌شود. (این نتیجه را با بخش: پایه‌های دوگان ، قضیه ۱ مقایسه کنید.) ◻

قضیه ۲. اگر 𝒰 یک فضای برداری n -بعدی با پایه { x 1 , … , x n } باشد، و اگر 𝒱 یک فضای برداری m -بعدی با پایه { y 1 , … , y m } باشد، آنگاه یک پایه یکتا معین { w p q } ( p = 1 , … , n ؛ q = 1 , … , m ) در فضای برداری تمام فرم‌های دوخطی روی 𝒰 ⊕ 𝒱 با این ویژگی وجود دارد که w p q ( x i , y j ) = δ i p δ j q . در نتیجه بُعد فضای فرم‌های دوخطی روی 𝒰 ⊕ 𝒱 حاصل‌ضرب ابعاد 𝒰 و 𝒱 است.

اثبات. با استفاده از قضیه ۱، ما w p q را (برای هر p و q ثابت) توسط شرط داده شده w p q ( x i , y j ) = δ i p δ j q تعیین می‌کنیم. فرم‌های دوخطی تعیین شده بدین ترتیب، مستقل خطی هستند، زیرا ∑ p ∑ q α p q w p q = 0 نتیجه می‌دهد که 0 = ∑ p ∑ q α p q δ i p δ j q = α i j . اگر، علاوه بر این، w یک عنصر دلخواه از 𝒲 باشد، و اگر w ( x i , y j ) = α i j باشد، آنگاه w = ∑ p ∑ q α p q w p q . در واقع، اگر x = ∑ i ξ i x i و y = ∑ j η j y j باشد، آنگاه w p q ( x , y ) = ∑ i ∑ j ξ i η j δ i p δ j q = ξ p η q , و در نتیجه، w ( x , y ) = ∑ i ∑ j ξ i η j α i j = ∑ p ∑ q α p q w p q ( x , y ) . نتیجه می‌شود که w p q ها یک پایه در فضای فرم‌های دوخطی تشکیل می‌دهند؛ این موضوع اثبات قضیه را کامل می‌کند. (این نتیجه را با بخش: پایه‌های دوگان ، قضیه ۲ مقایسه کنید.) ◻

تمرین‌ها

تمرین ۱. 

  1. اگر w یک فرم دوخطی روی ℝ n ⊕ ℝ n باشد، آنگاه اسکالرهای α i j ، i , j = 1 , … , n وجود دارند، به طوری که اگر x = ( ξ 1 , … , ξ n ) و y = ( η 1 , … , η n ) باشد، آنگاه w ( x , y ) = ∑ i ∑ j α i j ξ i η j . اسکالرهای α i j به طور یکتا توسط w تعیین می‌شوند.
  2. اگر z یک تابعی خطی روی فضای تمام فرم‌های دوخطی روی ℝ n ⊕ ℝ n باشد، آنگاه اسکالرهای β i j وجود دارند به طوری که (در نمادگذاری بخش (الف)) z ( w ) = ∑ i ∑ j α i j β i j برای هر w . اسکالرهای β i j به طور یکتا توسط z تعیین می‌شوند.

تمرین ۲. یک فرم دوخطی w روی 𝒰 ⊕ 𝒱 ، تبهیده است اگر، به عنوان تابعی از یکی از دو آرگومانش، به طور همانی برای مقداری غیرصفر از آرگومان دیگرش صفر شود؛ در غیر این صورت غیرتبهیده است.

  1. مثالی از یک فرم دوخطی تبهیده (که به طور همانی صفر نباشد) روی ℂ 2 ⊕ ℂ 2 بیاورید.
  2. مثالی از یک فرم دوخطی غیرتبهیده روی ℂ 2 ⊕ ℂ 2 بیاورید.

تمرین ۳. اگر w یک فرم دوخطی روی 𝒰 ⊕ 𝒱 باشد، اگر y 0 در 𝒱 باشد، و اگر تابع y روی 𝒰 توسط y ( x ) = w ( x , y 0 ) تعریف شده باشد، آنگاه y یک تابعی خطی روی 𝒰 است. آیا درست است که اگر w غیرتبهیده باشد، آنگاه هر تابعی خطی روی 𝒰 را می‌توان به این روش (با یک انتخاب مناسب از y 0 ) به دست آورد؟

تمرین ۴. فرض کنید که برای هر x و y در 𝒫 n تابع w توسط

  1. w ( x , y ) = ∫ 0 1 x ( t ) y ( t ) d t ،
  2. w ( x , y ) = x ( 1 ) + y ( 1 ) ،
  3. w ( x , y ) = x ( 1 ) ⋅ y ( 1 ) ،
  4. w ( x , y ) = x ( 1 ) ( d y d t ) t = 1 .

تعریف شده است. در کدام یک از این موارد w یک فرم دوخطی روی 𝒫 n ⊕ 𝒫 n است؟ در کدام موارد غیرتبهیده است؟

تمرین ۵. آیا یک فضای برداری 𝒱 و یک فرم دوخطی w روی 𝒱 ⊕ 𝒱 وجود دارد به طوری که w به طور همانی صفر نباشد اما w ( x , x ) = 0 برای هر x در 𝒱 ؟

تمرین ۶. 

  1. یک فرم دوخطی w روی 𝒱 ⊕ 𝒱 ، متقارن است اگر w ( x , y ) = w ( y , x ) برای تمام x ها و y ها. یک فرم درجه دوم روی 𝒱 تابعی مانند q روی 𝒱 است که از یک فرم دوخطی w با نوشتن q ( x ) = w ( x , x ) به دست می‌آید. اثبات کنید که اگر مشخصه میدان اسکالر زیربنایی متفاوت از 2 باشد، آنگاه هر فرم دوخطی متقارن به طور یکتا توسط فرم درجه دوم متناظرش تعیین می‌شود. اگر مشخصه 2 باشد چه اتفاقی می‌افتد؟
  2. آیا یک فرم دوخطی غیرمتقارن می‌تواند همان فرم درجه دوم یک فرم متقارن را تعریف کند؟