ترکیب‌های خطی

ما هرگاه x = ∑ i α i x i باشد، خواهیم گفت که x یک ترکیب خطی از { x i } است؛ ما بدون هیچ توضیح بیشتری، تمام پیامدهای دستوری ساده‌ی این اصطلاح را به کار خواهیم برد. بنابراین، در صورتی که x یک ترکیب خطی از { x i } باشد، خواهیم گفت که x به طور خطی به { x i } وابسته است؛ ما اثبات این مطلب را به خواننده واگذار می‌کنیم که اگر { x i } به طور خطی مستقل باشد، آنگاه شرط لازم و کافی برای اینکه x یک ترکیب خطی از { x i } باشد این است که مجموعه بزرگ‌تر شده، که از الحاق x به { x i } به دست می‌آید، به طور خطی وابسته باشد. توجه داشته باشید که طبق تعریف مجموع تهی، مبدأ یک ترکیب خطی از مجموعه تهی از بردارها است؛ علاوه بر این، مبدأ تنها برداری است که این ویژگی را دارد.

قضیه زیر نتیجه اساسی در مورد وابستگی خطی است.

قضیه ۱. مجموعه بردارهای غیرصفر x 1 , … , x n به طور خطی وابسته است اگر و تنها اگر برخی x k ، 2 ≤ k ≤ n ، یک ترکیب خطی از بردارهای قبلی باشد.

اثبات. فرض کنیم بردارهای x 1 , … , x n به طور خطی وابسته باشند، و فرض کنیم k اولین عدد صحیحی بین 2 و n باشد که برای آن x 1 , … , x k به طور خطی وابسته هستند. (در بدترین حالت، فرض ما به ما اطمینان می‌دهد که k = n کارساز خواهد بود.) آنگاه α 1 x 1 + ⋯ + α k x k = 0 برای مجموعه مناسبی از α ‌ها (که همگی صفر نیستند)؛ علاوه بر این، α ‌ها هر چه که باشند، نمی‌توانیم داشته باشیم α k = 0 ، زیرا در این صورت باید یک رابطه وابستگی خطی میان x 1 , … , x k − 1 داشته باشیم که با تعریف k در تناقض است. بنابراین x k = − α 1 α k x 1 + ⋯ + − α k − 1 α k x k − 1 همان‌طور که باید اثبات می‌شد. این امر ضرورت شرط ما را اثبات می‌کند؛ کفایت آن واضح است زیرا همان‌طور که قبلاً اشاره کردیم، هر مجموعه‌ای که شامل یک مجموعه وابسته خطی باشد، خود نیز چنین است. ◻