بعد مجموع مستقیم

اثبات. ادعا می‌کنیم که اگر $\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک پایه در $𝒰$ باشد، و اگر $\{y_1,\dots ,y_m\}$ یک پایه در $𝒱$ باشد، آنگاه مجموعه $\{x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m\}$ (یا دقیق‌تر بگوییم، مجموعه $\{⟨x_1,0⟩,\dots ,⟨x_n,0⟩,⟨0,y_1⟩,\dots ,⟨0,y_m⟩\}$ ) یک پایه در $𝒲$ است. ساده‌ترین اثبات این ادعا، استفاده از استلزام (1) $⟹$ (3) از قضیه بخش پیشین است. از آنجا که هر $z$ در $𝒲$ را می‌توان به فرم $z=x+y$ نوشت، که در آن $x$ یک ترکیب خطی از $x_1,\dots ,x_n$ و $y$ یک ترکیب خطی از $y_1,\dots ,y_m$ است، نتیجه می‌شود که مجموعه ما واقعاً $𝒲$ را تولید می‌کند. برای نشان دادن اینکه این مجموعه همچنین مستقل خطی است، فرض کنید $${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n+{\beta }_1{y}_1+\cdots +{\beta }_m{y}_m=0.$$ یکتایی نمایش $0$ به فرم $x+y$ ایجاب می‌کند که $${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n={\beta }_1{y}_1+\cdots +{\beta }_m{y}_m=0,$$ و بنابراین استقلال خطی $x$ ها و $y$ ها ایجاب می‌کند که $${\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_n={\beta }_1=\cdots ={\beta }_m=0.$$ ◻

اثبات. فرض کنید $\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک پایه دلخواه در $𝒰$ باشد؛ بر اساس قضیه بخش: پایه‌ها می‌توانیم مجموعه‌ای مانند $\{y_1,\dots ,y_m\}$ از بردارها در $𝒲$ بیابیم با این ویژگی که $\{x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m\}$ یک پایه در $𝒲$ باشد. فرض کنید $𝒱$ زیرفضای تولیدشده توسط $y_1,\dots ,y_m$ باشد؛ از بررسی اینکه $𝒲=𝒰\oplus 𝒱$ صرف‌نظر می‌کنیم. ◻