بعد زیرفضا

قضیه ۱

قضیه ۱. یک زیرفضای $M$ در یک فضای برداری $n$ -بعدی $V$ ، یک فضای برداری با بعد $\leq n$ است.

اثبات.

اثبات. می‌توان اثباتی فریبنده کوتاه برای این قضیه ارائه داد که به شرح زیر است. هر مجموعه‌ای از $n + 1$ برداری در $𝒱$ وابسته خطی است، بنابراین همین امر برای $ℳ$ نیز صادق است؛ از این رو، به طور خاص، تعداد عناصر در هر پایه‌ای از $ℳ$ برابر است با $\leq n$ ، ثابت شد.

مشکل این استدلال آن است که ما بعد $n$ را در وهله اول با این شرط تعریف کردیم که یک پایه متناهی وجود داشته باشد، و سپس خواستیم که این پایه دقیقاً شامل $n$ عنصر باشد. اثبات بالا تنها نشان می‌دهد که هیچ پایه‌ای نمی‌تواند بیش از $n$ عنصر داشته باشد؛ اما نشان نمی‌دهد که اصلاً پایه‌ای وجود دارد. با این حال، هنگامی که این دشواری مشاهده شود، پر کردن این شکاف آسان است. اگر $ℳ = 𝒪$ ، آنگاه $ℳ$ یک فضای $0$ -بعدی است و کار تمام است. اگر $ℳ$ شامل یک بردار غیرصفر $x_{1}$ باشد، فرض کنید $ℳ_{1}$ ( $\subset ℳ$ ) زیرفضای تولید شده توسط $x_{1}$ باشد. اگر $ℳ = ℳ_{1}$ ، آنگاه $ℳ$ یک فضای $1$ -بعدی است و کار تمام است. اگر $ℳ \neq ℳ_{1}$ ، فرض کنید $x_{2}$ عنصری از $ℳ$ باشد که در $ℳ_{1}$ قرار ندارد، و فرض کنید $ℳ_{2}$ زیرفضای تولید شده توسط $x_{1}$ و $x_{2}$ باشد؛ و الی آخر. اکنون می‌توانیم به طور مشروع از استدلال ارائه شده در بالا استفاده کنیم؛ پس از طی بیش از $n$ گام از این نوع، فرآیند به پایان می‌رسد، زیرا (طبق بخش: بعد ، قضیه ۲) نمی‌توانیم $n + 1$ بردار مستقل خطی پیدا کنیم. ◻

∎

نتیجه زیر پیامد مهمی از این اثبات دوم و صحیح برای قضیه ۱ است.

قضیه ۲

قضیه ۲. با فرض هر زیرفضای $m$ -بعدی $ℳ$ در یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ ، می‌توانیم پایه‌ای مانند ${x_{1}, \dots, x_{m}, x_{m + 1}, \dots, x_{n}}$ در $𝒱$ بیابیم به طوری که $x_{1}, \dots, x_{m}$ در $ℳ$ باشند و بنابراین، یک پایه برای $ℳ$ تشکیل دهند.

ما بعد یک فضای برداری $𝒱$ را با نماد $\dim 𝒱$ نشان خواهیم داد. در این نمادگذاری، قضیه ۱ بیان می‌کند که اگر $ℳ$ زیرفضایی از یک فضای برداری متناهی‌بعد $𝒱$ باشد، آنگاه $\dim ℳ \leq \dim 𝒱$ .

تمرین‌ها

تمرین ۱.

تمرین ۱. اگر $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضاهای متناهی‌بعدی با بعد یکسان باشند، و اگر $ℳ \subset 𝒩$ ، آنگاه $ℳ = 𝒩$ .

تمرین ۲.

تمرین ۲. اگر $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضاهایی از یک فضای برداری $𝒱$ باشند، و اگر هر بردار در $𝒱$ یا به $ℳ$ تعلق داشته باشد یا به $𝒩$ (یا هر دو)، آنگاه یا $ℳ = 𝒱$ یا $𝒩 = 𝒱$ (یا هر دو).

تمرین ۳.

تمرین ۳. اگر $x$ ، $y$ ، و $z$ بردارهایی باشند به طوری که $x + y + z = 0$ ، آنگاه $x$ و $y$ همان زیرفضایی را تولید می‌کنند که $y$ و $z$ تولید می‌کنند.

تمرین ۴.

تمرین ۴. فرض کنید $x$ و $y$ بردار باشند و $ℳ$ زیرفضایی در یک فضای برداری $𝒱$ باشد؛ فرض کنید $ℋ$ زیرفضای تولید شده توسط $ℳ$ و $x$ باشد، و فرض کنید $𝒦$ زیرفضای تولید شده توسط $ℳ$ و $y$ باشد. ثابت کنید اگر $y$ در $ℋ$ باشد اما در $ℳ$ نباشد، آنگاه $x$ در $𝒦$ است.

تمرین ۵.

تمرین ۵. فرض کنید $ℒ$ ، $ℳ$ ، و $𝒩$ زیرفضاهایی از یک فضای برداری باشند.

نشان دهید که معادله $ℒ \cap (ℳ + 𝒩) = (ℒ \cap ℳ) + (ℒ \cap 𝒩)$ لزوماً برقرار نیست.
ثابت کنید $ℒ \cap (ℳ + (ℒ \cap 𝒩)) = (ℒ \cap ℳ) + (ℒ \cap 𝒩)$

تمرین ۶.

آیا ممکن است یک زیرفضای غیربدیهی از یک فضای برداری $𝒱$ (یعنی زیرفضایی متفاوت از هر دو $𝒪$ و $𝒱$ ) دارای مکمل یکتا باشد؟
اگر $ℳ$ یک زیرفضای $m$ -بعدی در یک فضای برداری $n$ -بعدی باشد، آنگاه هر مکمل $ℳ$ دارای بعد $n - m$ است.

تمرین ۷.

نشان دهید اگر هر دو $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضاهای سه‌بعدی از یک فضای برداری پنج‌بعدی باشند، آنگاه $ℳ$ و $𝒩$ مجزا نیستند.
اگر $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضاهای متناهی‌بعدی از یک فضای برداری باشند، آنگاه $\dim ℳ + \dim 𝒩 = \dim (ℳ + 𝒩) + \dim (ℳ \cap 𝒩) .$

تمرین ۸.

تمرین ۸. یک چندجمله‌ای $x$ را زوج می‌نامند اگر $x (- t) = x (t)$ به ازای همه $t$ ها برقرار باشد (به بخش: زیرفضاها ، (۳) مراجعه کنید)، و آن را فرد می‌نامند اگر $x (- t) = - x (t)$ .

(الف) هم رده $ℳ$ از چندجمله‌ای‌های زوج و هم رده $𝒩$ از چندجمله‌ای‌های فرد، زیرفضاهایی از فضای $𝒫$ شامل تمام چندجمله‌ای‌های (مختلط) هستند.

(ب) ثابت کنید $ℳ$ و $𝒩$ مکمل یکدیگرند.