کاهش‌پذیری

یک زیرحالت بسیار مهم از مفهوم ناوردا، کاهش‌پذیری است. اگر $ℳ$ و $𝒩$ دو زیرفضا باشند به طوری که هر دو تحت $A$ ناوردا باشند و $𝒱$ مجموع مستقیم آن‌ها باشد، آنگاه $A$ توسط زوج $(ℳ,𝒩)$ کاهش (تجزیه) می‌یابد. تفاوت میان ناوردا بودن و کاهش‌پذیری این است که در حالت اول، در میان مجموعه تمام زیرفضاهای ناوردا تحت $A$ ممکن است نتوانیم هیچ دو زیرفضایی را، به جز $𝒪$ و $𝒱$ ، با این ویژگی که $𝒱$ مجموع مستقیم آن‌ها باشد، انتخاب کنیم. یا به بیان دیگر، اگر $ℳ$ تحت $A$ ناوردا باشد، قطعاً راه‌های بسیاری برای یافتن یک $𝒩$ به طوری که $𝒱=ℳ\oplus 𝒩$ وجود دارد، اما ممکن است هیچ $𝒩$ چنینی تحت $A$ ناوردا نباشد.

فرآیند توصیف‌شده در بالا را می‌توان معکوس نیز کرد. فرض کنید $ℳ$ و $𝒩$ دو فضای برداری دلخواه، و $A$ و $B$ دو تبدیل خطی دلخواه (به ترتیب بر روی $ℳ$ و $𝒩$ ) باشند. فرض کنید $𝒱$ مجموع مستقیم $ℳ\oplus 𝒩$ باشد؛ می‌توانیم روی $𝒱$ یک تبدیل خطی $C$ به نام مجموع مستقیم $A$ و $B$ تعریف کنیم، با نوشتن $$Cz=C(x,y)=(Ax,By).$$ ما از بحث مفصل درباره مجموع‌های مستقیم تبدیل‌ها صرف‌نظر می‌کنیم و تنها به ذکر نتایج بسنده خواهیم کرد. اثبات آن‌ها آسان است. اگر $(ℳ,𝒩)$ تبدیل $C$ را کاهش دهد، و اگر تبدیل خطی $C$ را که تنها بر روی $ℳ$ در نظر گرفته شده است با $A$ ، و تبدیل خطی $C$ را که تنها بر روی $𝒩$ در نظر گرفته شده است با $B$ نشان دهیم، آنگاه $C$ مجموع مستقیم $A$ و $B$ است. با انتخاب مناسب پایه (یعنی با انتخاب $x_1,\dots ,x_m$ در $ℳ$ و $x_{m+1},\dots ,x_n$ در $𝒩$ ) می‌توانیم ماتریس مجموع مستقیم $A$ و $B$ را به شکلی که در بخش قبل نمایش داده شد، با $[A_1]=[A]$ ، $[B_0]=[0]$ ، و $[A_2]=[B]$ درآوریم. اگر $p$ هر چندجمله‌ای باشد، و اگر بنویسیم ، ، آنگاه مجموع مستقیم از و برابر با $p(C)$ خواهد بود.

تمرین‌ها