چندجمله‌ای‌ها

قانون شرکت‌پذیری ضرب به ما این امکان را می‌دهد که حاصل‌ضرب سه (یا چند) عامل را بدون هیچ پرانتزی بنویسیم؛ به ویژه می‌توانیم حاصل‌ضرب هر تعداد متناهی، مثلاً $m$ ، از عوامل را که همگی برابر با $A$ هستند، در نظر بگیریم. این حاصل‌ضرب تنها به $A$ و به $m$ بستگی دارد (و نه، همان‌طور که همین الان اشاره کردیم، به هیچ‌گونه پرانتزگذاری عوامل)؛ ما آن را با $A^m$ نشان خواهیم داد. توجیه این نمادگذاری آن است که، اگرچه به طور کلی ضرب تبدیلات جابجایی‌پذیر نیست، اما برای توان‌های یک تبدیل، قوانین معمول توان‌ها را داریم، یعنی $A^n{A}^m=A^{n+m}$ و $(A^n{)}^m=A^{nm}$ . مشاهده می‌کنیم که $A^1=A$ ؛ همچنین مرسوم است که طبق تعریف بنویسیم $A^0=1$ . با این تعاریف، حساب توان‌های یک تبدیل منفرد تقریباً دقیقاً همانند حساب معمولی است. به ویژه، می‌توانیم چندجمله‌ای‌ها را در یک تبدیل خطی تعریف کنیم. بنابراین اگر $p$ هر چندجمله‌ای با ضرایب اسکالر در یک متغیر $t$ باشد، مثلاً $p(t)={\alpha }_0+{\alpha }_{1}t+\cdots +{\alpha }_n{t}^n$ ، می‌توانیم تبدیل خطی زیر را تشکیل دهیم

$$p(A)={\alpha }_{0}1+{\alpha }_{1}A+\cdots +{\alpha }_n{A}^n.$$ 

قواعد دستکاری جبری چنین چندجمله‌ای‌هایی آسان است. بنابراین $p(t)q(t)=r(t)$ نتیجه می‌دهد که $p(A)q(A)=r(A)$ (به طوری که، به ویژه، هر $p(A)$ و $q(A)$ جابجایی‌پذیر هستند)؛ اگر $p(t)=\alpha$ (هماناً)، معمولاً خواهیم نوشت $p(A)=\alpha$ (به جای $p(A)=\alpha \cdot 1$ )؛ این امر با استفاده از نمادهای $0$ و $1$ برای تبدیلات خطی هماهنگ است.

اگر $p$ یک چندجمله‌ای بر حسب دو متغیر باشد و اگر $A$ و $B$ تبدیلات خطی باشند، معمولاً امکان ارائه هیچ تفسیر معقولی برای $p(A,B)$ وجود ندارد. البته مشکل اینجاست که $A$ و $B$ ممکن است جابجایی‌پذیر نباشند، و حتی یک تک‌جمله‌ای ساده، مانند $s^{2}t$ ، باعث سردرگمی خواهد شد. اگر $p(s,t)=s^{2}t$ باشد، منظور ما از $p(A,B)$ چه باید باشد؟ آیا باید $A^{2}B$ باشد، یا $ABA$ ، یا $B{A}^2$ ؟ مهم است که تشخیص دهیم در اینجا یک دشواری وجود دارد؛ خوشبختانه برای ما لازم نیست تلاش کنیم تا از آن عبور کنیم. ما با چندجمله‌ای‌های چندمتغیره تنها در ارتباط با تبدیلات جابجایی‌پذیر کار خواهیم کرد، و در آن صورت همه چیز ساده است. مشاهده می‌کنیم که اگر $AB=BA$ ، آنگاه $A^n{B}^m=B^m{A}^n$ ، و بنابراین $p(A,B)$ برای هر چندجمله‌ای $p$ دارای معنایی بدون ابهام است. ویژگی‌های صوری تناظر بین تبدیلات (جابجایی‌پذیر) و چندجمله‌ای‌ها برای چند متغیر دقیقاً به همان اندازه برای یک متغیر معتبر هستند؛ ما از ذکر جزئیات صرف‌نظر می‌کنیم.

برای نمونه‌ای از رفتار احتمالی توان‌های یک تبدیل، به تبدیل مشتق‌گیری $D$ روی $𝒫$ (یا به همان خوبی، روی ${𝒫}_n$ ، برای مقداری $n$ ) نگاه می‌کنیم. به آسانی می‌توان دید که برای هر عدد صحیح مثبت $k$ ، و برای هر چندجمله‌ای $x$ در $𝒫$ ، داریم $(D^{k}x)(t)=\frac{d^{k}x}{d{t}^k}$ . مشاهده می‌کنیم که $D$ هر کار دیگری که انجام دهد، درجه چندجمله‌ای را که روی آن عمل می‌کند دقیقاً به اندازه یک واحد کاهش می‌دهد (البته با این فرض که درجه $\ge 1$ باشد). فرض کنید $x$ یک چندجمله‌ای از درجه $n-1$ باشد؛ $D^{n}x$ چیست؟ یا به بیان دیگر: حاصل‌ضرب دو تبدیل (جابجایی‌پذیر) $D^k$ و $D^{n-k}$ (که در آن $k$ هر عدد صحیحی بین $0$ و $n$ است)، در نظر گرفته شده روی فضای ${𝒫}_n$ ، چیست؟ ما این مثال را ذکر می‌کنیم تا واقعیت نگران‌کننده‌ای را که در پاسخ به سؤال آخر نهفته است برجسته کنیم؛ حاصل‌ضرب دو تبدیل ممکن است صفر شود حتی اگر هیچ‌کدام از آن‌ها صفر نباشند. به یک تبدیل غیرصفر که حاصل‌ضرب آن با یک تبدیل غیرصفر دیگر صفر شود، مقسوم‌علیه صفر گفته می‌شود.

تمرین‌ها