پوچ‌توانی

به عنوان کمکی برای دستیابی به یک قضیه نمایش که اطلاعات بیشتری نسبت به قضیه مثلثی ارائه دهد، به معرفی و مطالعه یک رده بسیار خاص اما مفید از تبدیلات می‌پردازیم. یک تبدیل خطی $A$ را پوچ‌توان می‌نامند اگر یک عدد صحیح اکیداً مثبت $q$ وجود داشته باشد به طوری که $A^{q} = 0$ ؛ کوچکترین چنین عدد صحیح $q$ را شاخص پوچ‌توانی می‌گویند.

قضیه ۱. اگر $A$ یک تبدیل خطی پوچ‌توان با شاخص $q$ روی یک فضای برداری متناهی‌بعد $𝒱$ باشد، و اگر $x_{0}$ برداری باشد که برای آن $A^{q - 1} x_{0} \neq 0$ ، آنگاه بردارهای $x_{0}, A x_{0}, \dots, A^{q - 1} x_{0}$ مستقل خطی هستند. اگر $ℋ$ زیرفضای تولید شده توسط این بردارها باشد، آنگاه یک زیرفضای $𝒦$ وجود دارد به طوری که $𝒱 = ℋ \oplus 𝒦$ و به طوری که زوج $(ℋ, 𝒦)$ تبدیل $A$ را کاهش می‌دهد.

اثبات. برای اثبات استقلال خطی ادعا شده، فرض کنید $\sum_{i = 0}^{q - 1} α_{i} A^{i} x_{0} = 0$ ، و فرض کنید $j$ کوچکترین شاخصی باشد که $α_{j} \neq 0$ . (ما امکان $j = 0$ را رد نمی‌کنیم.) با تقسیم کردن بر $- α_{j}$ و تغییر نمادگذاری به یک روش بدیهی، یک رابطه به فرم زیر به دست می‌آوریم

از تعریف $q$ نتیجه می‌شود که

از آنجا که این با انتخاب $x_{0}$ در تناقض است، باید برای هر $j$ داشته باشیم $α_{j} = 0$ .

واضح است که $ℋ$ تحت $A$ ناوردا است؛ برای ساختن $𝒦$ ما با استقرا روی شاخص پوچ‌توانی $q$ پیش می‌رویم. اگر $q = 1$ باشد، نتیجه بدیهی است؛ اکنون قضیه را برای $q - 1$ فرض می‌کنیم. برد $ℛ$ از $A$ یک زیرفضا است که تحت $A$ ناوردا است؛ اگر به $ℛ$ محدود شود، تبدیل خطی $A$ پوچ‌توان با شاخص $q - 1$ است. می‌نویسیم $ℋ_{0} = ℋ \cap ℛ$ و $y_{0} = A x_{0}$ ؛ آنگاه $ℋ_{0}$ توسط بردارهای مستقل خطی $y_{0}, A y_{0}, \dots, A^{q - 2} y_{0}$ تولید می‌شود. فرض استقرا قابل اعمال است، و می‌توانیم نتیجه بگیریم که $ℛ$ مجموع مستقیم $ℋ_{0}$ و یک زیرفضای ناوردا دیگر $𝒦_{0}$ است.

ما $𝒦_{1}$ را برای مجموعه تمام بردارهای $x$ می‌نویسیم به طوری که $A x$ در $𝒦_{0}$ باشد؛ واضح است که $𝒦_{1}$ یک زیرفضا است. وسوسه زیادی وجود دارد که $𝒦 = 𝒦_{1}$ قرار دهیم و تلاش کنیم ثابت کنیم که $𝒦$ دارای ویژگی‌های مطلوب است. متأسفانه این لزوماً درست نیست؛ $ℋ$ و $𝒦_{1}$ لازم نیست مجزا باشند. (این درست است، اما ما از این واقعیت استفاده نخواهیم کرد، که اشتراک $ℋ$ و $𝒦_{1}$ در فضای پوچی $A$ قرار دارد.) اینکه، علی‌رغم این، $𝒦_{1}$ مفید است ناشی از این واقعیت است که $ℋ + 𝒦_{1} = 𝒱$ . برای اثبات این، توجه کنید که $A x$ برای هر $x$ در $ℛ$ است، و در نتیجه، $A x = y + z$ با $y$ در $ℋ_{0}$ و $z$ در $𝒦_{0}$ . عضو عمومی $ℋ_{0}$ یک ترکیب خطی از $A x_{0}, \dots, A^{q - 1} x_{0}$ است؛ بنابراین داریم

که در آن $y_{1}$ در $ℋ$ است. نتیجه می‌شود که $A x = A y_{1} + z$ ، یا $A (x - y_{1}) = z$ ، به طوری که $A (x - y_{1})$ در $𝒦_{0}$ است. این بدان معناست که $x - y_{1}$ در $𝒦_{1}$ است، به طوری که $x$ مجموع یک عضو (یعنی $y_{1}$ ) از $ℋ$ و یک عضو (یعنی $x - y_{1}$ ) از $𝒦_{1}$ است.

تا آنجا که به مجزا بودن مربوط می‌شود، حداقل می‌توانیم بگوییم که $ℋ \cap 𝒦_{0} = 𝒪$ . برای اثبات این، فرض کنید $x$ در $ℋ \cap 𝒦_{0}$ باشد، و ابتدا توجه کنید که $A x$ در $ℋ_{0}$ است (زیرا $x$ در $ℋ$ است). از آنجا که $𝒦_{0}$ نیز تحت $A$ ناوردا است، بردار $A x$ همراه با $x$ به $𝒦_{0}$ تعلق دارد، به طوری که $A x = 0$ . از این نتیجه می‌گیریم که $x$ در $ℋ_{0}$ است. (از آنجا که $x$ در $ℋ$ است، داریم $x = \sum_{i = 0}^{q - 1} α_{i} A^{i} x_{0}$ ؛ و بنابراین $0 = A x = \sum_{i = 1}^{q - 1} α_{i - 1} A^{i} x_{0}$ ؛ از استقلال خطی $A^{j} x_{0}$ نتیجه می‌شود که $α_{0} = \dots = α_{q - 2} = 0$ ، به طوری که $x = α_{q - 1} A^{q - 1} x_{0}$ .) ما ثابت کردیم که اگر $x$ به $ℋ \cap 𝒦_{0}$ تعلق داشته باشد، آنگاه به $ℋ_{0} \cap 𝒦_{0}$ نیز تعلق دارد، و در نتیجه $x = 0$ .

اکنون وضعیت به این صورت است: $ℋ$ و $𝒦_{1}$ با هم $𝒱$ را تولید می‌کنند، و $𝒦_{1}$ شامل دو زیرفضای مجزای $𝒦_{0}$ و $ℋ \cap 𝒦_{1}$ است. اگر فرض کنیم هر متممی برای $𝒦_{0} \oplus (ℋ \cap 𝒦_{1})$ در $𝒦_{1}$ باشد، یعنی اگر آنگاه می‌توانیم بنویسیم ؛ ما ادعا می‌کنیم که این $𝒦$ دارای ویژگی‌های مطلوب است. در درجه اول، $𝒦 \subset 𝒦_{1}$ و $𝒦$ از $ℋ \cap 𝒦_{1}$ مجزا است؛ نتیجه می‌شود که $ℋ \cap 𝒦 = 𝒪$ . در درجه دوم، $ℋ \oplus 𝒦$ شامل هر دو $ℋ$ و $𝒦_{1}$ است، به طوری که $ℋ \oplus 𝒦 = 𝒱$ . در نهایت، $𝒦$ تحت $A$ ناوردا است، زیرا این واقعیت که $𝒦 \subset 𝒦_{1}$ دلالت می‌کند که $A 𝒦 \subset 𝒦_{0} \subset 𝒦$ . اثبات قضیه کامل است. ◻

بعداً به نکته زیر نیاز خواهیم داشت. اگر ${\tilde{x}}_{0}$ هر بردار دیگری باشد که برای آن $A^{q - 1} {\tilde{x}}_{0} \neq 0$ ، اگر $\tilde{ℋ}$ زیرفضای تولید شده توسط بردارهای $x_{0}, A x_{0}, \dots, A^{q - 1} {\tilde{x}}_{0}$ باشد، و اگر، در نهایت، $\tilde{𝒦}$ هر زیرفضایی باشد که همراه با $\tilde{ℋ}$ تبدیل $A$ را کاهش دهد، آنگاه رفتار $A$ روی $\tilde{ℋ}$ و $\tilde{𝒦}$ همانند رفتار آن روی $ℋ$ و $𝒦$ به ترتیب است. (به عبارت دیگر، علی‌رغم عدم یکتایی ظاهری در بیان قضیه ۱، همه چیز در واقع تا حد یکریختی‌ها به طور یکتا تعیین شده است.) درستی این نکته از این واقعیت ناشی می‌شود که شاخص پوچ‌توانی $A$ روی $𝒦$ (مثلاً $r$ ) همان شاخص پوچ‌توانی $A$ روی $\tilde{𝒦}$ (مثلاً $\tilde{r}$ ) است. این واقعیت، به نوبه خود، به شرح زیر اثبات می‌شود. از آنجا که $A^{r} 𝒱 = A^{r} ℋ + A^{r} 𝒦$ و همچنین $A^{r} 𝒱 = A^{r} \tilde{ℋ} + A^{r} \tilde{𝒦}$ (این نتایج به ناوردا بودن تمام زیرفضاهای درگیر بستگی دارد)، نتیجه می‌شود که ابعاد سمت راست این معادلات را می‌توان مساوی قرار داد، و در نتیجه $(q - r) + 0 = (q - r) + (\tilde{r} - r)$ .

با استفاده از قضیه ۱ می‌توانیم یک مشخصه‌سازی هندسی کامل از تبدیلات پوچ‌توان پیدا کنیم.

قضیه ۲. اگر $A$ یک تبدیل خطی پوچ‌توان با شاخص $q$ روی یک فضای برداری متناهی‌بعد $𝒱$ باشد، آنگاه اعداد صحیح مثبت $r, q_{1}, \dots, q_{r}$ و بردارهای $x_{1}, \dots, x_{r}$ وجود دارند به طوری که (i) $q_{1} \geq \dots \geq q_{r}$ ، (ii) بردارهای

یک پایه برای $𝒱$ تشکیل می‌دهند، و (iii) $A^{q_{1}} x_{1} = A^{q_{2}} x_{2} = \dots = A^{q_{r}} x_{r} = 0$ . اعداد صحیح $r, q_{1}, \dots, q_{r}$ یک مجموعه کامل از ناورداهای یکریختی $A$ را تشکیل می‌دهند. اگر، به عبارت دیگر، $B$ هر تبدیل خطی پوچ‌توان دیگری روی یک فضای برداری متناهی‌بعد $𝒲$ باشد، آنگاه یک شرط لازم و کافی برای اینکه یک یکریختی $T$ بین $𝒱$ و $𝒲$ وجود داشته باشد به طوری که $T A T^{- 1} = B$ این است که اعداد صحیح $r, q_{1}, \dots, q_{r}$ متصل به $B$ همان اعداد متصل به $A$ باشند.

اثبات. می‌نویسیم $q_{1} = q$ و $x_{1}$ را به عنوان هر برداری انتخاب می‌کنیم که برای آن $A^{q_{1} - 1} x_{1} \neq 0$ . زیرفضای تولید شده توسط $x_{1}, A x_{1}, \dots, A^{q_{1} - 1} x_{1}$ تحت $A$ ناوردا است، و، بر اساس قضیه ۱، دارای یک متمم ناوردا است، که طبیعتاً بعدی اکیداً کمتر از $𝒱$ دارد. روی این زیرفضای متمم، $A$ پوچ‌توان با شاخص مثلاً $q_{2}$ است؛ ما همان رویه کاهش را روی این زیرفضا اعمال می‌کنیم (با شروع از یک بردار $x_{2}$ که برای آن $A^{q_{2} - 1} x_{2} \neq 0$ ).

ما بدین ترتیب با استقرا ادامه می‌دهیم تا فضا را تمام کنیم. این بخش وجودی قضیه را اثبات می‌کند؛ بخش باقی‌مانده از یکتایی (تا حد یکریختی‌ها) تجزیه ارائه شده توسط قضیه ۱ نتیجه می‌شود. ◻

نسبت به پایه ${A^{i} x_{j}}$ توصیف شده در قضیه ۲، ماتریس $A$ شکل به ویژه ساده‌ای به خود می‌گیرد. هر درایه ماتریسی که روی قطر درست زیر قطر اصلی نباشد صفر می‌شود (یعنی $α_{i j} \neq 0$ دلالت می‌کند که $j = i - 1$ )، و درایه‌های زیر قطر اصلی (از بالا) با رشته‌ای از $1$ ها و به دنبال آن یک $0$ تک شروع می‌شوند، سپس با رشته دیگری از $1$ ها و به دنبال آن یک $0$ ادامه می‌یابند، و همین‌طور تا انتها ادامه پیدا می‌کنند، در حالی که طول رشته‌های $1$ ها به طور یکنوا کاهشی است (یا به هر حال، غیرافزایشی).

توجه کنید که فرض همیشگی ما درباره بستار جبری میدان اسکالرها در این بخش استفاده نشد.

تمرین‌ها

تمرین ۱. آیا یک تبدیل پوچ‌توان با شاخص $3$ روی یک فضای $2$ -بعدی وجود دارد؟

تمرین ۲.

ثابت کنید که یک تبدیل خطی پوچ‌توان روی یک فضای برداری متناهی‌بعد دارای اثر صفر است.
ثابت کنید که اگر $A$ و $B$ تبدیلات خطی باشند (روی همان فضای برداری متناهی‌بعد) و اگر $C = A B - B A$ ، آنگاه $1 - C$ پوچ‌توان نیست.

تمرین ۳. ثابت کنید که اگر $A$ یک تبدیل خطی پوچ‌توان با شاخص $q$ روی یک فضای برداری متناهی‌بعد باشد، آنگاه $ν (A^{k + 1}) + ν (A^{k - 1}) \leq 2 ν (A^{k})$ برای $k = 1, \dots, q - 1$ .

تمرین ۴. اگر $A$ یک تبدیل خطی باشد (روی یک فضای برداری متناهی‌بعد روی یک میدان بسته جبری)، آنگاه تبدیلات خطی $B$ و $C$ وجود دارند به طوری که $A = B + C$ ، $B$ قطری‌پذیر است، $C$ پوچ‌توان است، و $B C = C B$ ؛ تبدیلات $B$ و $C$ به طور یکتا توسط این شرایط تعیین می‌شوند.