ماتریس‌ها

اکنون بیایید رشته‌های از هم گسیخته را به هم پیوندیم؛ پس از معرفی مفهوم جدید تبدیل خطی، اکنون باید دریابیم که این مفهوم چه ارتباطی با مفاهیم قدیمی پایه‌ها، تابعی‌های خطی و غیره دارد.

یکی از مهم‌ترین ابزارها در مطالعه تبدیل‌های خطی روی فضاهای برداری با بعد متناهی، مفهوم ماتریس است. از آنجا که این مفهوم معمولاً همتای مناسبی در فضاهای با بعد نامتناهی ندارد، و از آنجا که در بیشتر ملاحظات می‌توان بدون آن کار را پیش برد، ما تلاش خواهیم کرد که در اثبات قضایا از آن استفاده نکنیم. با این حال، دانستن اینکه ماتریس چیست اهمیت دارد؛ اکنون وارد بحث مفصل می‌شویم.

تعریف ۱. فرض کنید $𝒱$ یک فضای برداری $n$ -بعدی باشد، فرض کنید $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ یک پایه دلخواه از $𝒱$ باشد، و فرض کنید $A$ یک تبدیل خطی روی $𝒱$ باشد. از آنجا که هر بردار یک ترکیب خطی از $x_{i}$ ها است، به طور خاص داریم $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ برای $j = 1, \dots, n$ . مجموعه $(α_{i j})$ متشکل از $n^{2}$ اسکالر، که با اندیس دوگانه $i$ ، $j$ شاخص‌گذاری شده است، ماتریس $A$ در دستگاه مختصات $𝒳$ نامیده می‌شود؛ ما عموماً آن را با $[A]$ نشان می‌دهیم، یا اگر لازم باشد پایه خاص $𝒳$ مورد نظر را مشخص کنیم، با $[A; 𝒳]$ نشان می‌دهیم. یک ماتریس $(α_{i j})$ معمولاً به صورت یک آرایه مربعی نوشته می‌شود: $[A] = [\begin{matrix} α_{11} & α_{12} & \dots & α_{1 n} \\ α_{21} & α_{22} & \dots & α_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ α_{n 1} & α_{n 2} & \dots & α_{n n} \end{matrix}];$ اسکالرهای $(α_{i 1}, \dots, α_{i n})$ یک سطر ، و $(α_{1 j}, \dots, α_{n j})$ یک ستون از $[A]$ را تشکیل می‌دهند.

این تعریف، «ماتریس» را تعریف نمی‌کند؛ بلکه «ماتریس مرتبط با یک تبدیل خطی تحت شرایط خاص» را تعریف می‌کند. اغلب مفید است که ماتریس را به عنوان چیزی که به خودی خود و به عنوان یک آرایه مربعی از اسکالرها وجود دارد در نظر بگیریم؛ با این حال، به طور کلی، یک ماتریس در این کتاب با یک تبدیل خطی و یک پایه گره خورده است.

در مورد نمادگذاری توضیح می‌دهیم. معمول است که از همان نماد، مثلاً $A$ ، هم برای ماتریس و هم برای تبدیل استفاده شود. توجیه این امر را می‌توان در بحث زیر (در مورد خواص ماتریس‌ها) یافت. ما در اینجا از این رسم پیروی نمی‌کنیم، زیرا یکی از اهداف اصلی ما، در ارتباط با ماتریس‌ها، تأکید بر این است که آن‌ها به یک دستگاه مختصات بستگی دارند (در حالی که مفهوم تبدیل خطی این‌گونه نیست)، و مطالعه اینکه چگونه رابطه بین ماتریس‌ها و تبدیل‌های خطی با گذر از یک دستگاه مختصات به دستگاه دیگر تغییر می‌کند.

همچنین توجه را به یک ویژگی خاص در شاخص‌گذاری عناصر $α_{i j}$ یک ماتریس $[A]$ جلب می‌کنیم. پایه همان پایه است، و تاکنون، اگرچه معمولاً عناصر آن را با $n$ عدد صحیح مثبت اول شاخص‌گذاری می‌کردیم، ترتیب عناصر در آن کاملاً بی‌اهمیت بود. با این حال، هنگام صحبت از ماتریس‌ها، معمول است که مثلاً به سطر اول یا ستون اول اشاره شود. این زبان تنها در صورتی موجه است که عناصر پایه $𝒳$ را به گونه‌ای در نظر بگیریم که در یک ترتیب مشخص مرتب شده‌اند. از آنجا که در اکثر ملاحظات ما، ترتیب سطرها و ستون‌های یک ماتریس به همان اندازه که ترتیب عناصر یک پایه بی‌ارتباط است، بی‌ارتباط می‌باشد، ما این جنبه از ماتریس‌ها را در تعریف خود نیاوردیم. با این حال، مهم است که درک کنیم ظاهر آرایه مربعی مرتبط با $[A]$ با ترتیب‌بندی $𝒳$ تغییر می‌کند.

بر این اساس، هر آنچه درباره ماتریس‌ها خواهیم گفت را می‌توان از دو دیدگاه متفاوت تفسیر کرد؛ یا دقیقاً مطابق با متن تعریف ما، و یا با پیروی از یک تعریف اصلاح‌شده که یک ماتریس (با سطرهای و ستون‌های مرتب‌شده) را نه تنها با یک تبدیل خطی و یک پایه، بلکه با یک ترتیب‌بندی از پایه نیز متناظر می‌سازد.

یک کلمه دیگر برای کسانی که در جریان هستند. این یک کج‌روی نه از جانب نویسنده، بلکه از جانب طبیعت است که ما را وادار می‌کند بنویسیم

$A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$

به جای معادله معمول‌تر

$A x_{i} = \sum_{j} α_{i j} x_{j} .$

دلیل این امر آن است که ما می‌خواهیم فرمول‌های ضرب ماتریسی و کاربرد ماتریس‌ها روی بردارهای عددی (یعنی بردارهای $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ در $ℂ^{n}$ ) طبیعی به نظر برسند، و در جایی از فرآیند گذر از بردارها به مختصات آن‌ها، اندیس‌ها جابه‌جا می‌شوند. برای بیان صریح قاعده خود: $A x_{j}$ را به عنوان یک ترکیب خطی از $x_{1}, \dots, x_{n}$ بنویسید، و ضرایب به دست آمده را به عنوان $j$ -مین ستون ماتریس $[A]$ بنویسید. (اولین اندیس روی $α_{i j}$ همیشه اندیس سطر است؛ و دومی، اندیس ستون.)

برای مثال، تبدیل مشتق‌گیری $D$ را روی فضای $𝒫_{n}$ ، و پایه ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ که با $x_{i} (t) = t^{i - 1}$ ، $i = 1, \dots, n$ تعریف شده است، در نظر می‌گیریم. ماتریس $D$ در این پایه چیست؟ ما داریم به طوری که

پدیده ناخوشایند جابه‌جا شدن اندیس‌ها با مقایسه (۱) و (۲) دیده می‌شود.