فرم مثلثی

اکنون اثبات ساده‌ترین قضیه از قضایای به اصطلاح فرم کانونیکال کاملاً آسان است. فرض ما درباره میدان اسکالر (یعنی اینکه از نظر جبری بسته است) همچنان برقرار است.

قضیه ۱. اگر $A$ هر تبدیل خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ باشد، آنگاه $n + 1$ زیرفضای $ℳ_{0}, ℳ_{1}, \dots, ℳ_{n - 1}, ℳ_{n}$ با ویژگی‌های زیر وجود دارند:

هر $ℳ_{j}$ ( $j = 0, 1, \dots, n - 1, n$ ) تحت $A$ ناوردا است،
بُعد $ℳ_{j}$ برابر با $j$ است،
( $𝒪 =$ ) $ℳ_{0} \subset ℳ_{1} \subset \dots \subset ℳ_{n - 1} \subset ℳ_{n}$ ( $= 𝒱$ ).

اثبات. اگر $n = 0$ یا $n = 1$ باشد، نتیجه بدیهی است؛ ما با استقرا پیش می‌رویم و فرض می‌کنیم که گزاره برای $n - 1$ صحیح است. تبدیل دوگان روی را در نظر بگیرید؛ از آنجا که حداقل یک بردار ویژه دارد، مثلاً ، یک زیرفضای یک‌بعدی $ℳ$ وجود دارد که تحت آن ناوردا است، یعنی مجموعه تمام مضرب‌های . بیایید پوچ‌ساز (در )ِ $ℳ$ را با $ℳ_{n - 1}$ نشان دهیم، $ℳ_{n - 1} = ℳ^{0}$ ؛ آنگاه $ℳ_{n - 1}$ یک زیرفضای $(n - 1)$ -بعدی از $𝒱$ است، و $ℳ_{n - 1}$ تحت $A$ ناوردا است. در نتیجه می‌توانیم $A$ را صرفاً به عنوان یک تبدیل خطی روی $ℳ_{n - 1}$ در نظر بگیریم، و می‌توانیم $ℳ_{0}, ℳ_{1}, \dots, ℳ_{n - 2}$ ، $ℳ_{n - 1}$ را بیابیم، به طوری که شرایط (i)، (ii)، (iii) را برآورده کنند. ما $ℳ_{n} = 𝒱$ می‌نویسیم، و کار تمام است. ◻

جذابیت اصلی این قضیه از تفسیر ماتریسی آن ناشی می‌شود. از آنجا که $ℳ_{1}$ یک‌بعدی است، می‌توانیم برداری مانند $x_{1} \neq 0$ در آن بیابیم. از آنجا که $ℳ_{1} \subset ℳ_{2}$ است، نتیجه می‌شود که $x_{1}$ همچنین در $ℳ_{2}$ قرار دارد، و چون $𝒩_{2}$ دوبعدی است، می‌توانیم برداری مانند $x_{2}$ در آن بیابیم به طوری که $x_{1}$ و $x_{2}$ ، $ℳ_{2}$ را تولید کنند. ما به همین روش با استقرا پیش می‌رویم و بردارهای $x_{j}$ را طوری انتخاب می‌کنیم که $x_{1}, \dots, x_{j}$ در $ℳ_{j}$ قرار داشته باشند و $ℳ_{j}$ را برای $j = 1, \dots, n$ تولید کنند. در نهایت یک پایه $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ در $𝒱$ به دست می‌آوریم؛ بیایید ماتریس $A$ را در این دستگاه مختصات محاسبه کنیم. از آنجا که $x_{j}$ در $ℳ_{j}$ است و چون $ℳ_{j}$ تحت $A$ ناوردا است، نتیجه می‌شود که $A x_{j}$ باید ترکیبی خطی از $x_{1}, \dots, x_{j}$ باشد. بنابراین در عبارت $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ ضریب $x_{i}$ باید هرگاه $i > j$ باشد صفر شود؛ به عبارت دیگر، $i > j$ ایجاب می‌کند که $α_{i j} = 0$ باشد. از این رو ماتریس $A$ دارای فرم مثلثی است. از این نمایش واضح است که $\det (A - α_{i i}) = 0$ برای $i = 1, \dots, n$ ، به طوری که $α_{i i}$ ها مقادیر ویژه $A$ هستند که روی قطر اصلی $[A]$ با چندگانگی‌های ویژه ظاهر می‌شوند. ما به شرح زیر جمع‌بندی می‌کنیم.

قضیه ۲. اگر $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ باشد، آنگاه پایه‌ای مانند $𝒳$ در $𝒱$ وجود دارد به طوری که ماتریس $[A; X]$ مثلثی است؛ یا به طور معادل، اگر $[A]$ هر ماتریسی باشد، یک ماتریس نامنفرد $[B]$ وجود دارد به طوری که $[B]^{- 1} [A] [B]$ مثلثی است.

فرم مثلثی برای اثبات نتایج بسیاری درباره تبدیلات خطی مفید است. به عنوان مثال، از آن نتیجه می‌شود که برای هر چندجمله‌ای $p$ ، مقادیر ویژه $p (A)$ ، شامل چندگانگی‌های جبری آن‌ها، دقیقاً اعداد $p (λ)$ هستند، که در آن $λ$ مقادیر ویژه $A$ را می‌پیماید.

بخش بزرگی از نظریه تبدیلات خطی به بهبود نتیجه مثلثی‌سازی که به تازگی به دست آمد اختصاص دارد. بهترین حالتی که یک ماتریس می‌تواند داشته باشد مثلثی نیست بلکه قطری است (یعنی $α_{i j} = 0$ مگر اینکه $i = j$ باشد)؛ اگر یک تبدیل خطی به گونه‌ای باشد که ماتریس آن نسبت به یک دستگاه مختصات مناسب قطری باشد، آن تبدیل را قطری‌پذیر می‌نامیم.

تمرین‌ها

تمرین ۱. ماتریس‌های زیر را به عنوان تبدیلات خطی روی $ℂ^{2}$ تفسیر کنید و در هر مورد، پایه‌ای از $ℂ^{2}$ بیابید به طوری که ماتریس تبدیل نسبت به آن پایه مثلثی باشد.

$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$ .

تمرین ۲. دو تبدیل خطی جابجایی‌پذیر روی یک فضای برداری متناهی‌بعد $𝒱$ بر روی یک میدان از نظر جبری بسته را می‌توان به طور همزمان مثلثی کرد. به عبارت دیگر، اگر $A B = B A$ باشد، آنگاه پایه‌ای مانند $𝒳$ وجود دارد به طوری که هم $[A; 𝒳]$ و هم $[B; 𝒳]$ مثلثی هستند. (راهنمایی: برای تقلید از اثبات در بخش: فرم مثلثی ، مطلوب است که یک زیرفضای $ℳ$ از $𝒱$ پیدا کنیم که تحت هر دو $A$ و $B$ ناوردا باشد. با در نظر داشتن این موضوع، هر مقدار ویژه $λ$ از $A$ را در نظر بگیرید و مجموعه تمام جواب‌های $A x = λ x$ را برای نقش $ℳ$ بررسی کنید.)

تمرین ۳. نتایج مشابه بخش: فرم مثلثی را برای ماتریس‌های مثلثی زیر قطر (به جای بالای آن) فرمول‌بندی و اثبات کنید.

تمرین ۴. فرض کنید $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی است. برای هر فرم $n$ -خطی متناوب $w$ ، $\overset{―}{A} w$ را برای تابعی که به صورت زیر تعریف می‌شود بنویسید

از آنجا که $\overset{―}{A} w$ یک فرم $n$ -خطی متناوب است، و در واقع، $\overset{―}{A}$ یک تبدیل خطی روی فضای (یک‌بعدی) چنین فرم‌هایی است، نتیجه می‌شود که $\overset{―}{A} w = τ (A) \cdot w$ ، که در آن $τ (A)$ یک اسکالر است.

$τ (0) = 0$ .
$τ (1) = n$ .
$τ (A + B) = τ (A) + τ (B)$ .
$τ (α A) = α τ (A)$ .
اگر میدان اسکالر دارای مشخصه صفر باشد و اگر $A$ یک تصویر باشد، آنگاه $τ (A) = ρ (A)$ .
اگر $(α_{i j})$ ماتریس $A$ در برخی دستگاه‌های مختصات باشد، آنگاه $τ (A) = \sum_{i} α_{i i}$ .
.
$τ (A B) = τ (B A)$ .
برای کدام جایگشت‌های $π$ از اعداد صحیح $1, \dots, k$ این درست است که $τ (A_{1} \dots A_{k}) = τ (A_{π (1)} \dots A_{π (k)})$ برای تمام $k$ -تایی‌های $(A_{1}, \dots, A_{k})$ از تبدیلات خطی؟
اگر میدان اسکالرها از نظر جبری بسته باشد، آنگاه $τ (A) = tr A$ . (به همین دلیل اثر معمولاً به عنوان $τ$ تعریف می‌شود؛ رایج‌ترین روش استفاده از (f) به عنوان تعریف است.)

تمرین ۵.

فرض کنید میدان اسکالر دارای مشخصه صفر است. اثبات کنید که اگر $E_{1}, \dots, E_{k}$ و $E_{1} + \dots + E_{k}$ تصویر باشند، آنگاه $E_{i} E_{j} = 0$ هرگاه $i \neq j$ . (راهنمایی: از این واقعیت که $tr (E_{1} + \dots + E_{k}) = tr (E_{1}) + \dots + tr (E_{k})$ نتیجه بگیرید که برد $E_{1} + \dots + E_{k}$ مجموع مستقیم بردهای $E_{1}, \dots, E_{k}$ است.)
اگر $A_{1}, \dots, A_{k}$ تبدیلات خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی باشند، و اگر $A_{1} + \dots + A_{k} = 1$ و $ρ (A_{1}) + \dots + ρ (A_{k}) \leq n$ باشد، آنگاه هر $A_{i}$ یک تصویر است و $A_{i} A_{j} = 0$ هرگاه $i \neq j$ . (با $k = 2$ شروع کنید و با استقرا پیش بروید؛ از استدلال مجموع مستقیم مانند (a) استفاده کنید.)

تمرین ۶.

اگر $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری متناهی‌بعد بر روی میدانی با مشخصه صفر باشد، و اگر $tr A = 0$ باشد، آنگاه پایه‌ای مانند $𝒳$ وجود دارد به طوری که اگر $[A; 𝒳] = (α_{i j})$ باشد، آنگاه $α_{i i} = 0$ برای تمام $i$ . (راهنمایی: با استفاده از این واقعیت که $A$ یک اسکالر نیست، ابتدا اثبات کنید که برداری مانند $x$ وجود دارد به طوری که $x$ و $A x$ مستقل خطی هستند. این اثبات می‌کند که $α_{11}$ را می‌توان صفر کرد؛ با استقرا پیش بروید.)
نشان دهید که اگر مشخصه صفر نباشد، نتیجه (a) نادرست است. (راهنمایی: اگر مشخصه $2$ باشد، $B C - C B$ را محاسبه کنید، که در آن $B = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ و $C = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ .)