فرافکنی‌ها و ناوردایی

پیش‌تر دیدیم که مطالعه‌ی تصویرها معادل با مطالعه‌ی تجزیه‌های مجموع مستقیم است. به کمک تصویرها می‌توانیم مفاهیم ناورایی و کاهش‌پذیری را نیز مطالعه کنیم.

قضیه ۱. اگر زیرفضای $ℳ$ تحت تبدیل خطی $A$ ناوردا باشد، آنگاه $E A E = A E$ برای هر تصویر $E$ روی $ℳ$ برقرار است. برعکس، اگر $E A E = A E$ برای تصویری مانند $E$ روی $ℳ$ برقرار باشد، آنگاه $ℳ$ تحت $A$ ناوردا است.

اثبات. فرض کنید $ℳ$ تحت $A$ ناوردا باشد و $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ برای $𝒩$ ای برقرار باشد؛ فرض کنید $E$ تصویر روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ باشد. برای هر $z = x + y$ (که در آن $x$ در $ℳ$ و $y$ در $𝒩$ است) داریم $A E z = A x$ و $E A E z = E A x$ ؛ از آنجا که حضور $x$ در $ℳ$ حضور $A x$ در $ℳ$ را تضمین می‌کند، نتیجه می‌شود که $E A x$ نیز برابر با $A x$ است، همان‌طور که مطلوب بود.

برعکس، فرض کنید $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ ، و $E A E = A E$ برای تصویر $E$ روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ برقرار باشد. اگر $x$ در $ℳ$ باشد، آنگاه $E x = x$ ، به طوری که $E A x = E A E x = A E x = A x,$ و در نتیجه $A x$ نیز در $ℳ$ است. ◻

قضیه ۲. اگر $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضاهایی با $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ باشند، آنگاه شرط لازم و کافی برای اینکه تبدیل خطی $A$ توسط زوج $(ℳ, 𝒩)$ کاهش‌پذیر باشد این است که $E A = A E$ ، که در آن $E$ تصویر روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ است.

اثبات. ابتدا فرض می‌کنیم $E A = A E$ ، و ثابت می‌کنیم که $A$ توسط $(ℳ, 𝒩)$ کاهش‌پذیر است. اگر $x$ در $ℳ$ باشد، آنگاه $A x = A E x = E A x$ ، به طوری که $A x$ نیز در $ℳ$ است؛ اگر $x$ در $𝒩$ باشد، آنگاه $E x = 0$ و $E A x = A E x = A 0 = 0$ ، به طوری که $A x$ نیز در $𝒩$ است.

سپس فرض می‌کنیم $A$ توسط $(ℳ, 𝒩)$ کاهش‌پذیر است، و ثابت می‌کنیم که $E A = A E$ . از آنجا که $ℳ$ تحت $A$ ناوردا است، قضیه ۱ به ما اطمینان می‌دهد که $E A E = A E;$ از آنجا که $𝒩$ نیز تحت $A$ ناوردا است، و از آنجا که $1 - E$ تصویری روی $𝒩$ است، به طور مشابه داریم $(1 - E) A (1 - E) = A (1 - E) .$ از معادله دوم، پس از انجام ضرب‌های مشخص شده و ساده‌سازی، به دست می‌آوریم $E A E = E A$ ؛ این اثبات قضیه را به پایان می‌رساند. ◻

تمرین‌ها

تمرین ۱.

فرض کنید $E$ تصویری روی یک فضای برداری $𝒱$ باشد، و فرض کنید ضرب اسکالر به گونه‌ای بازتعریف شود که حاصل‌ضرب جدید یک اسکالر $α$ و یک بردار $x$ برابر با حاصل‌ضرب قدیمی $α$ و $E x$ باشد. نشان دهید که جمع برداری (قدیمی) و ضرب اسکالر (جدید) تمام اصول موضوعه روی یک فضای برداری را به جز $1 \cdot x = x$ ارضا می‌کنند.
تا چه حد این گزاره درست است که روش توصیف شده در (الف) تنها راه ساخت سیستم‌هایی است که تمام اصول موضوعه روی یک فضای برداری را به جز $1 \cdot x = x$ ارضا می‌کنند؟

تمرین ۲.

فرض کنید $𝒱$ یک فضای برداری، $x_{0}$ برداری در $𝒱$ ، و $y_{0}$ یک تابعک خطی روی $𝒱$ باشد؛ بنویسید $A x = [x, y_{0}] x_{0}$ برای هر $x$ در $𝒱$ . تحت چه شرایطی روی $x_{0}$ و $y_{0}$ ، $A$ یک تصویر است؟
اگر $A$ تصویر روی، مثلاً، $ℳ$ در امتداد $𝒩$ باشد، $ℳ$ و $𝒩$ را بر حسب $x_{0}$ و $y_{0}$ مشخص کنید.

تمرین ۳. اگر $A$ ضرب از چپ در $P$ روی یک فضای تبدیلات خطی باشد (ر.ک. بخش: ماتریس‌های تبدیلات ، تمرین ۵)، تحت چه شرایطی روی $P$ ، $A$ یک تصویر است؟

تمرین ۴. اگر $A$ یک تبدیل خطی، $E$ یک تصویر، و $F = 1 - E$ باشد، آنگاه $A = E A E + E A F + F A E + F A F$ از این نتیجه برای اثبات قاعده ضرب برای ماتریس‌های افراز شده (مربعی) استفاده کنید (مانند بخش: ماتریس‌های تبدیلات ، تمرین ۱۹).

تمرین ۵.

اگر $E_{1}$ و $E_{2}$ به ترتیب تصویرهایی روی $ℳ_{1}$ و $ℳ_{2}$ در امتداد $𝒩_{1}$ و $𝒩_{2}$ باشند، و اگر $E_{1}$ و $E_{2}$ جابجاپذیر باشند، آنگاه $E_{1} + E_{2} - E_{1} E_{2}$ یک تصویر است.
اگر $E_{1} + E_{2} - E_{1} E_{2}$ تصویر روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ باشد، $ℳ$ و $𝒩$ را بر حسب $ℳ_{1}$ ، $ℳ_{2}$ ، $𝒩_{1}$ ، و $𝒩_{2}$ توصیف کنید.

تمرین ۶.

یک تبدیل خطی $A$ بیابید به طوری که $A^{2} (1 - A) = 0$ اما $A$ توان‌هم‌نما نباشد.
یک تبدیل خطی $A$ بیابید به طوری که $A (1 - A)^{2} = 0$ اما $A$ توان‌هم‌نما نباشد.
ثابت کنید اگر $A$ یک تبدیل خطی باشد به طوری که $A^{2} (1 - A) = A (1 - A)^{2} = 0$ ، آنگاه $A$ توان‌هم‌نما است.

تمرین ۷.

ثابت کنید اگر $E$ تصویری روی یک فضای برداری متناهی‌بعد باشد، آنگاه پایه‌ای مانند $𝒳$ وجود دارد به طوری که ماتریس $(e_{i j})$ متعلق به $E$ نسبت به $𝒳$ دارای فرم ویژه زیر است: $e_{i j} = 0$ یا $1$ برای تمام $i$ و $j$ ها، و $e_{i j} = 0$ اگر $i \neq j$ .
یک اینولوشن تبدیلی خطی مانند $U$ است به طوری که $U^{2} = 1$ . نشان دهید اگر $1 + 1 \neq 0$ ، آنگاه معادله $U = 2 E - 1$ یک تناظر یک‌به‌یک میان تمام تصویرهای $E$ و تمام اینولوشن‌های $U$ برقرار می‌کند.
(الف) و (ب) چه چیزی را درباره ماتریس یک اینولوشن روی یک فضای برداری متناهی‌بعد نتیجه می‌دهند؟

تمرین ۸.

در فضای $ℂ^{2}$ شامل تمام بردارهای $(ξ_{1}, ξ_{2})$ ، فرض کنید $ℳ^{+}$ ، $𝒩_{1}$ ، و $𝒩_{2}$ به ترتیب زیرفضاهای مشخص شده با $ξ_{1} = ξ_{2}$ ، $ξ_{1} = 0$ ، و $ξ_{2} = 0$ باشند. اگر $E_{1}$ و $E_{2}$ به ترتیب تصویرهایی روی $ℳ^{+}$ در امتداد $𝒩_{1}$ و $𝒩_{2}$ باشند، نشان دهید که $E_{1} E_{2} = E_{2}$ و $E_{2} E_{1}$ $= E_{1}$ .
فرض کنید $ℳ^{-}$ زیرفضای مشخص شده با $ξ_{1} = - ξ_{2}$ باشد. اگر $E_{0}$ تصویر روی $𝒩_{2}$ در امتداد $ℳ^{-}$ باشد، آنگاه $E_{2} E_{0}$ یک تصویر است، اما $E_{0} E_{2}$ این‌طور نیست.

تمرین ۹. نشان دهید اگر $E$ ، $F$ ، و $G$ تصویرهایی روی یک فضای برداری روی میدانی باشند که مشخصه آن برابر با $2$ نیست، و اگر $E + F + G = 1$ ، آنگاه $E F = F E = E G = G E = F G = G F = 0.$ آیا این اثبات برای چهار تصویر به جای سه تصویر نیز کار می‌کند؟