فرافکنی‌ها

ارتباط دیگری میان مجموع‌های مستقیم و تبدیلات خطی وجود دارد که برای مقاصد ما از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است.

تعریف ۱. اگر $𝒱$ مجموع مستقیم $ℳ$ و $𝒩$ باشد، به طوری که هر $z$ در $𝒱$ را بتوان به‌طور یکتا به فرم $z = x + y$ نوشت که در آن $x$ در $ℳ$ و $y$ $𝒩$ باشد، آنگاه فرافکنی روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ تبدیل $E$ است که با $E z = x$ تعریف می‌شود.

اگر مجموع‌های مستقیم مهم باشند، فرافکنی‌ها نیز مهم هستند، زیرا همان‌طور که خواهیم دید، آن‌ها ابزار جبری بسیار قدرتمندی در مطالعه مفهوم هندسی مجموع مستقیم هستند. خواننده به راحتی با رسم یک جفت محور (خمینه‌های خطی) در صفحه (مجموع مستقیم آن‌ها) از دلیل استفاده از کلمه "فرافکنی" قانع خواهد شد. برای اینکه تصویر به اندازه کافی کلی به نظر برسد، محورهای عمود بر هم رسم نکنید!

ما از یک نکته عبور کردیم که اثبات آن به اندازه کافی آسان است که بتوان از آن گذشت، اما باید به وجود آن اذعان کرد؛ باید نشان داده شود که $E$ یک تبدیل خطی است. این بررسی را به خواننده واگذار می‌کنیم و به دنبال ویژگی‌های خاص فرافکنی‌ها می‌رویم.

قضیه ۱. یک تبدیل خطی $E$ فرافکنی روی یک زیرفضا است اگر و تنها اگر توان‌یک باشد، یعنی $E^{2} = E$ .

اثبات. اگر $E$ فرافکنی روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ باشد، و اگر $z = x + y$ باشد، که در آن $x$ در $ℳ$ و $y$ در $𝒩$ باشد، آنگاه تجزیه $x$ به صورت $x + 0$ است، به طوری که $E^{2} z = E E z = E x = x = E z .$ برعکس، فرض کنید $E^{2} = E$ باشد. فرض کنید $𝒩$ مجموعه تمام بردارهای $z$ در $𝒱$ باشد که برای آن‌ها $E z = 0$ است؛ و فرض کنید $ℳ$ مجموعه تمام بردارهای $z$ باشد که برای آن‌ها $E z = z$ است. واضح است که هر دو $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضا هستند؛ ما ثابت خواهیم کرد که $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ . با توجه به قضیه بخش: مجموع‌های مستقیم ، باید ثابت کنیم که $ℳ$ و $𝒩$ مجزا هستند و اینکه آن‌ها با هم $𝒱$ را تولید می‌کنند.

اگر $z$ در $ℳ$ باشد، آنگاه $E z = z$ ؛ اگر $z$ در $𝒩$ باشد، آنگاه $E z = 0$ ؛ بنابراین اگر $z$ هم در $ℳ$ و هم در $𝒩$ باشد، آنگاه $z = 0$ . برای یک $z$ دلخواه داریم $z = E z + (1 - E) z .$ اگر بنویسیم $E z = x$ و $(1 - E) z = y$ ، آنگاه $E x = E^{2} z = E z = x,$ و $E y = E (1 - E) z = E z - E^{2} z = 0,$ به طوری که $x$ در $ℳ$ و $y$ در $𝒩$ است. این ثابت می‌کند که $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ ، و اینکه فرافکنی روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ دقیقاً $E$ است. ◻

به عنوان یک نتیجه مستقیم از اثبات بالا، نتیجه زیر را نیز به دست می‌آوریم.

قضیه ۲. اگر $E$ فرافکنی روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ باشد، آنگاه $ℳ$ و $𝒩$ به ترتیب مجموعه تمام جواب‌های معادلات $E z = z$ و $E z = 0$ هستند.

با استفاده از این دو قضیه می‌توانیم عدم تقارن ظاهری موجود در تعریف فرافکنی‌ها، بین نقش‌های ایفا شده توسط $ℳ$ و $𝒩$ را برطرف کنیم. اگر به ازای هر $z = x + y$ به جای $x$ ، $y$ را متناظر کنیم، یک تبدیل خطی توان‌یک دیگر نیز به دست می‌آوریم. این تبدیل (یعنی $1 - E$ ) فرافکنی روی $𝒩$ در امتداد $ℳ$ است. ما این حقایق را به شرح زیر خلاصه می‌کنیم.

قضیه ۳. یک تبدیل خطی $E$ فرافکنی است اگر و تنها اگر $1 - E$ یک فرافکنی باشد؛ اگر $E$ فرافکنی روی $ℳ$ در امتداد $𝒩$ باشد، آنگاه $1 - E$ فرافکنی روی $𝒩$ در امتداد $ℳ$ است.