ضرب تانسوری تبدیل‌ها

اکنون تبدیل‌های خطی را با نظریه ضرب‌های تانسوری پیوند می‌دهیم. فرض کنید $𝒰$ و $𝒱$ فضاهای برداری با بعد متناهی (روی یک میدان یکسان) باشند، و فرض کنید $A$ و $B$ دو تبدیل خطی دلخواه به ترتیب روی $𝒰$ و $𝒱$ باشند. ما یک تبدیل خطی $\overset{―}{C}$ روی فضای $𝒲$ از تمام فرم‌های دوخطی روی $𝒰 \oplus 𝒲$ را با نوشتن $(\overset{―}{C} w) (x, y) = w (A x, B y) .$ تعریف می‌کنیم. ضرب تانسوری $C = A \otimes B$ از تبدیل‌های $A$ و $B$ ، طبق تعریف، دوگان تبدیل $\overset{―}{C}$ است، به طوری که $(C z) (w) = z (\overset{―}{C} w)$ هرگاه $z$ در $𝒰 \otimes 𝒱$ و $w$ در $𝒲$ باشد. اگر $C$ را روی یک عنصر $z_{0}$ به فرم $z_{0} = x_{0} \otimes y_{0}$ اعمال کنیم (به یاد آورید که این بدان معناست که $z_{0} (w) = w (x_{0}, y_{0})$ برای تمام $w$ ها در $𝒲$ )، به دست می‌آوریم نتیجه می‌گیریم که از آنجا که عناصر کاملاً زیادی در $𝒰 \otimes 𝒱$ به فرم $x \otimes y$ وجود دارد، که در هر صورت برای تشکیل یک پایه کافی است (به بخش: پایه‌های ضربی مراجعه کنید)، این رابطه $C$ را مشخص می‌کند.

قواعد صوری برای کار با ضرب‌های تانسوری به شرح زیر است. اثبات تمام این روابط، به جز شاید دو مورد آخر، سرراست است.

فرمول (۷)، مانند تمام فرمول‌های شامل معکوس‌ها، باید با احتیاط خوانده شود. منظور این است که اگر هر دو $A$ و $B$ معکوس‌پذیر باشند، آنگاه $A \otimes B$ نیز معکوس‌پذیر است و معادله برقرار است، و برعکس، اگر $A \otimes B$ معکوس‌پذیر باشد، آنگاه $A$ و $B$ نیز معکوس‌پذیر هستند. ما (۷) و (۸) را با ترتیب عکس اثبات خواهیم کرد.

فرمول (۸) از مشخصه (۱) ضرب‌های تانسوری و محاسبه زیر نتیجه می‌شود: به عنوان یک نتیجه مستقیم از (۸) به دست می‌آوریم

برای اثبات (۷)، فرض کنید که $A$ و $B$ معکوس‌پذیر هستند، و $A \otimes B$ و $A^{- 1} \otimes B^{- 1}$ را تشکیل دهید. از آنجا که، طبق (۸)، حاصل‌ضرب این دو تبدیل، در هر ترتیبی، برابر با $1$ است، نتیجه می‌شود که $A \otimes B$ معکوس‌پذیر است و (۷) برقرار است. برعکس، فرض کنید که $A \otimes B$ معکوس‌پذیر است. با به یاد آوردن اینکه ضرب‌های تانسوری را فقط برای فضاهای با بعد متناهی تعریف کردیم، می‌توانیم به بخش: معکوس‌ها ، قضیه ۲ استناد کنیم؛ کافی است اثبات کنیم که $A x = 0$ نتیجه می‌دهد $x = 0$ و $B y = 0$ نتیجه می‌دهد $y = 0$ . از (۱) استفاده می‌کنیم: $A x \otimes B y = (A \otimes B) (x \otimes y) .$ اگر هر یک از عامل‌های سمت چپ صفر باشد، آنگاه $(A \otimes B) (x \otimes y) = 0$ ، که از آن $x \otimes y = 0$ نتیجه می‌شود، پس یا $x = 0$ یا $y = 0$ . از آنجا که (طبق (۲)) $B = 0$ غیرممکن است، می‌توانیم بردار $y$ را طوری بیابیم که $B y \neq 0$ باشد. با اعمال استدلال فوق روی این $y$ ، با هر $x$ که برای آن $A x = 0$ باشد، نتیجه می‌گیریم که $x = 0$ . همان استدلال با جابجایی نقش‌های $A$ و $B$ اثبات می‌کند که $B$ معکوس‌پذیر است.

یک جنبه جالب (و پیچیده) از نظریه ضرب‌های تانسوری تبدیل‌ها، نظریه ضرب‌های کرونکر ماتریس‌ها است. فرض کنید $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ و $𝒴 = {y_{1}, \dots, y_{m}}$ پایه‌هایی در $𝒰$ و $𝒱$ باشند، و فرض کنید $[A] = [A; 𝒳] = (α_{i j})$ و $[B] = [B; 𝒴] = (β_{p q})$ ماتریس‌های $A$ و $B$ باشند. ماتریس $A \otimes B$ در دستگاه مختصات ${x_{i} \otimes y_{p}}$ چیست؟

برای پاسخ به این سوال، باید بحث موجود در بخش: ماتریس‌ها در مورد ترتیب دادن یک پایه در یک ترتیب خطی را به یاد آوریم. از آنجا که متأسفانه نوشتن یک ماتریس بدون پایبندی به ترتیب سطرها و ستون‌ها غیرممکن است، در این مورد صریح خواهیم بود، و $n$ بار $m$ بردار $x_{i} \otimes y_{p}$ را در ترتیب به اصطلاح واژه‌نامه‌ای، به صورت زیر مرتب می‌کنیم: $x_{1} \otimes y_{1}, \dots, x_{1} \otimes y_{m}, x_{2} \otimes y_{1}, \dots, x_{2} \otimes y_{m}, \dots, x_{n} \otimes y_{1}, \dots, x_{n} \otimes y_{m} .$ همچنین به انجام محاسبه زیر می‌پردازیم: این فرآیند دقیقاً نشان می‌دهد که بدون مرتب کردن عناصر پایه تا کجا می‌توانیم پیش برویم؛ اگر، برای مثال، توافق کنیم که عناصر یک ماتریس را نه با یک جفت عدد صحیح بلکه با یک جفت از جفت‌ها، مثلاً $(i, p)$ و $(j, q)$ ، اندیس‌گذاری کنیم، آنگاه اکنون می‌دانیم که عنصر در سطر $(i, p)$ و ستون $(j, q)$ برابر با $α_{i j} β_{p q}$ است. اگر از ترتیب واژه‌نامه‌ای استفاده کنیم، ماتریس $A \otimes B$ به فرم $[\begin{matrix} α_{11} β_{11} & \dots & α_{11} β_{1 m} & \dots \dots & α_{1 n} β_{11} & \dots & α_{1 n} β_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots \dots & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ α_{11} β_{m 1} & \dots & α_{11} β_{m m} & \dots \dots & α_{1 n} β_{m 1} & \dots & α_{1 n} β_{m m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ α_{n 1} β_{11} & \dots & α_{n 1} β_{1 m} & \dots \dots & α_{n n} β_{11} & \dots & α_{n n} β_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots \dots & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ α_{n 1} β_{m 1} & \dots & α_{n 1} β_{m m} & \dots \dots & α_{n n} β_{m 1} & \dots & α_{n n} β_{m m} \end{matrix}] .$ خواهد بود. در یک نمادگذاری فشرده که معنای آن واضح است، می‌توانیم این ماتریس را به صورت $[\begin{matrix} a_{11} [B] & a_{12} [B] & \dots & a_{1 n} [B] \\ a_{21} [B] & a_{22} [B] & \dots & a_{2 n} [B] \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} [B] & a_{n 2} [B] & \dots & a_{n n} [B] \end{matrix}] .$ بنویسیم.

این ماتریس به عنوان ضرب کرونکر $[A]$ و $[B]$ ، با همین ترتیب، شناخته می‌شود. قاعده تشکیل آن به زبان ساده است: هر عنصر $α_{i j}$ از ماتریس $n$ در $n$ $[A]$ را با ماتریس $m$ در $m$ $α_{i j} [B]$ جایگزین کنید. اگر در این قاعده نقش‌های $A$ و $B$ را جابجا کنیم (و در نتیجه $n$ و $m$ را جابجا کنیم) به تعریف ضرب کرونکر $[B]$ و $[A]$ می‌رسیم.

تمرین‌ها

تمرین ۱. می‌دانیم که ضرب تانسوری $𝒫_{n}$ و $𝒫_{m}$ را می‌توان با فضای $𝒫_{n, m}$ از چندجمله‌ای‌ها در دو متغیر یکی دانست (به بخش: پایه‌های ضربی ، تمرین ۲ مراجعه کنید). اثبات کنید که اگر $A$ و $B$ به ترتیب مشتق‌گیری روی $𝒫_{n}$ و $𝒫_{m}$ باشند، و اگر $C = A \otimes B$ باشد، آنگاه $C$ مشتق‌گیری جزئی مختلط است، یعنی، اگر $z$ در $𝒫_{n, m}$ باشد، آنگاه $C z = \frac{\partial^{2} z}{\partial s \partial t}$ .

تمرین ۲. با ترتیب واژه‌نامه‌ای پایه ضربی ${x_{i} \otimes y_{p}}$ مشخص شد که ماتریس $A \otimes B$ ضرب کرونکر ماتریس‌های $A$ و $B$ است. آیا ترتیبی از بردارهای پایه وجود دارد به طوری که ماتریس $A \otimes B$ ، ارجاع داده شده به دستگاه مختصاتی که بدین ترتیب مرتب شده است، ضرب کرونکر ماتریس‌های $B$ و $A$ (با همین ترتیب) باشد؟

تمرین ۳. اگر $A$ و $B$ تبدیل‌های خطی باشند، آنگاه $ρ (A \otimes B) = ρ (A) ρ (B) .$