شباهت

دو پرسش زیر ارتباط نزدیکی با پرسش‌های بخش پیشین دارند.

پرسش ۳. اگر $B$ یک تبدیل خطی روی $𝒱$ باشد، رابطه بین ماتریس آن $(β_{i j})$ نسبت به $𝒳$ و ماتریس آن $(γ_{i j})$ نسبت به $𝒴$ چیست؟

پرسش ۴. اگر $(β_{i j})$ یک ماتریس باشد، رابطه بین تبدیل‌های خطی $B$ و $C$ که به ترتیب با $B x_{j} = \sum_{i} β_{i j} x_{i}$ و $C y_{j} = \sum_{i} β_{i j} y_{i}$ تعریف می‌شوند، چیست؟

پرسش‌های ۳ و ۴ صورت‌بندی‌های صریحی از مسئله‌ای هستند که پیش‌تر مطرح کردیم: به یک تبدیل، ماتریس‌های بسیاری (در دستگاه‌های مختصات مختلف) متناظر است (پرسش ۳) و به یک ماتریس، تبدیل‌های بسیاری متناظر است (پرسش ۴).

پاسخ به پرسش ۳. ما داریم و با استفاده از تبدیل خطی $A$ که در بخش پیشین تعریف شد، می‌توانیم بنویسیم و با مقایسه (۲)، (۳) و (۴)، می‌بینیم که $\sum_{k} α_{i k} γ_{k j} = \sum_{k} β_{i k} α_{k j} .$ با استفاده از ضرب ماتریسی، این را به شکل خطرناک ساده زیر می‌نویسیم خطر در این واقعیت نهفته است که سه تا از چهار ماتریس در (۵) متناظر با تبدیل‌های خطی خود در پایه $𝒳$ هستند؛ چهارمی –یعنی همان که با $[C]$ نشان دادیم– متناظر با $B$ در پایه $𝒴$ است. با این حال، با این درک، (۵) صحیح است. شکل رایج‌تر (۵)، که اصولاً برای محاسبه $[C]$ هنگامی که $[A]$ و $[B]$ معلوم هستند مناسب است، عبارت است از

پاسخ به پرسش ۴. برای برجسته کردن ماهیت اساساً هندسی این پرسش و پاسخ آن، مشاهده می‌کنیم که $C y_{j} = C A x_{j}$ و بنابراین $C$ چنان است که $C A x_{j} = A B x_{j},$ یا در نهایت، هیچ مشکلی با (۷) مشابه مشکلی که باعث شد در مورد تفسیر (۶) شرطی قائل شویم وجود ندارد؛ برای یافتن تبدیل خطی (نه ماتریس) $C$ ، ما تبدیل‌های $A$ ، $B$ و $A^{- 1}$ را در هم ضرب می‌کنیم، و نیازی به گفتن چیزی درباره دستگاه‌های مختصات نیست. با این حال، فرمول‌های (۶) و (۷) را مقایسه کنید، و یک بار دیگر سرشت لجوجانه ذاتی نمادهای ریاضی را مشاهده کنید. این صرفاً جنبه دیگری از واقعیاتی است که پیش‌تر در بخش‌های ۳۷ و ۳۸ یادآوری شد.

دو ماتریس $[B]$ و $[C]$ را متشابه می‌نامند اگر یک ماتریس معکوس‌پذیر $[A]$ وجود داشته باشد که در (۶) صدق کند؛ دو تبدیل خطی $B$ و $C$ را متشابه می‌نامند اگر یک تبدیل معکوس‌پذیر $A$ وجود داشته باشد که در (۷) صدق کند. با این زبان، پاسخ‌های پرسش‌های ۳ و ۴ را می‌توان بسیار مختصر بیان کرد؛ در هر دو مورد پاسخ این است که ماتریس‌ها یا تبدیل‌های داده شده باید متشابه باشند.

پس از به دست آوردن پاسخ پرسش ۴، اکنون می‌بینیم که زیرنویس‌های زیادی در صورت‌بندی آن وجود دارد. اعتبار (۷) یک واقعیت هندسی است که کاملاً مستقل از خطی بودن، متناهی‌بعد بودن، یا هر ویژگی تصادفی دیگری است که $A, B$ و $C$ ممکن است داشته باشند؛ پاسخ پرسش ۴ همچنین پاسخ یک پرسش بسیار کلی‌تر است. این پرسش هندسی، که بازگویی صورت‌بندی تحلیلی پرسش ۴ است، چنین است: اگر $B$ ، $𝒱$ را تبدیل کند، و اگر $C$ ، $A 𝒱$ را به همان روش تبدیل کند، رابطه بین $B$ و $C$ چیست؟ عبارت "به همان روش" آن‌قدر که به نظر می‌رسد مبهم نیست؛ به این معناست که اگر $B$ ، $x$ را به، مثلاً، $u$ ببرد، آنگاه $C$ ، $A x$ را به $A u$ می‌برد. البته پاسخ همان پاسخ پیشین است: از آنجا که $B x = u$ و $C y = v$ (که در آن $y = A x$ و $v = A u$ )، داریم $A B x = A u = v = C y = C A x .$ این وضعیت به طور مناسبی در نمودار یادآور زیر خلاصه شده است: ما می‌توانیم با استفاده از میان‌بر $C$ از $y$ به $v$ برویم، یا با دور زدن بلوک این کار را انجام دهیم؛ به عبارت دیگر $C = A B A^{- 1}$ . به یاد داشته باشید که $A B A^{- 1}$ باید از راست به چپ روی $y$ اعمال شود: ابتدا $A^{- 1}$ ، سپس $B$ ، و سپس $A$ .

دیدیم که نظریه تغییر پایه‌ها هم‌گستر با نظریه تبدیل‌های خطی معکوس‌پذیر است. یک تبدیل خطی معکوس‌پذیر یک خودریختی است، که منظور از خودریختی، یک یک‌ریختی از یک فضای برداری با خودش است. (به بخش: یک‌ریختی مراجعه کنید.) مشاهده می‌کنیم که برعکس، هر خودریختی یک تبدیل خطی معکوس‌پذیر است.

امیدواریم رابطه بین تبدیل‌های خطی و ماتریس‌ها تاکنون به اندازه کافی روشن شده باشد که خواننده اعتراضی نداشته باشد اگر در ادامه، هنگامی که می‌خواهیم مثال‌هایی از تبدیل‌های خطی با ویژگی‌های گوناگون ارائه دهیم، به نوشتن یک ماتریس بسنده کنیم. تفسیری که همیشه باید برای این رویه در نظر گرفت این است که فضای برداری مشخص $ℂ^{n}$ (یا یکی از نسخه‌های تعمیم‌یافته آن $𝔽^{n}$ ) و پایه مشخص $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ که با $x_{i} = (δ_{i 1}, \dots, δ_{i n})$ تعریف می‌شود را در ذهن داریم. با این درک، یک ماتریس $(α_{i j})$ البته یک تبدیل خطی یکتای $A$ را تعریف می‌کند، که با فرمول معمول زیر داده می‌شود $A (\sum_{i} ξ_{i} x_{i}) = \sum_{i} (\sum_{j} α_{i j} ξ_{j}) x_{i} .$

تمرین‌ها

تمرین ۱. اگر $A$ یک تبدیل خطی از یک فضای برداری $𝒰$ به یک فضای برداری $𝒱$ باشد، آنگاه متناظر با هر $y$ ثابت در یک بردار وجود دارد، که بهتر است با نشان داده شود، در به طوری که برای همه $x$ ها در $𝒰$ . ثابت کنید که یک تبدیل خطی از به است. (تبدیل را الحاقی ِ $A$ می‌نامند.) تا جایی که ممکن است معادلات بخش: الحاقی‌ها ، (۲)-(۸) را برای این مفهوم از الحاقی تفسیر و اثبات کنید.

تمرین ۲.

ثابت کنید که تشابه تبدیل‌های خطی روی یک فضای برداری یک رابطه هم‌ارزی است (یعنی بازتابی، متقارن و ترایا است).
اگر $A$ متشابه با یک اسکالر $α$ باشد، آنگاه $A = α$ .
اگر $A$ و $B$ متشابه باشند، آنگاه $A^{2}$ و $B^{2}$ ، و ، و در صورتی که $A$ و $B$ معکوس‌پذیر باشند، $A^{- 1}$ و $B^{- 1}$ نیز متشابه هستند.
مفهوم تشابه را به دو تبدیل تعریف شده روی فضاهای برداری مختلف تعمیم دهید. کدام یک از نتایج پیشین برای مفهوم تعمیم‌یافته معتبر باقی می‌مانند؟

تمرین ۳.

اگر $A$ و $B$ تبدیل‌های خطی روی یک فضای برداری یکسان باشند و اگر حداقل یکی از آن‌ها معکوس‌پذیر باشد، آنگاه $A B$ و $B A$ متشابه هستند.
آیا نتیجه (الف) معتبر باقی می‌ماند اگر هیچ‌کدام از $A$ و $B$ معکوس‌پذیر نباشند؟

تمرین ۴. اگر ماتریس یک تبدیل خطی $A$ روی $ℂ^{2}$ ، نسبت به پایه ${(1, 0), (0, 1)}$ برابر با $[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}],$ باشد، ماتریس $A$ نسبت به پایه ${(1, 1), (1, - 1)}$ چیست؟ در مورد پایه ${(1, 0), (1, 1)}$ چطور؟

تمرین ۵. اگر ماتریس یک تبدیل خطی $A$ روی $ℂ^{3}$ ، نسبت به پایه ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$ برابر با $[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{matrix}],$ باشد، ماتریس $A$ نسبت به پایه ${(0, 1, - 1), (1, - 1, 1), (- 1, 1, 0)}$ چیست؟

تمرین ۶.

ساخت یک ماتریس مرتبط با یک تبدیل خطی به دو پایه بستگی دارد، نه یکی. در واقع، اگر $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ و $\overset{―}{𝒳} = {{\bar{x}}_{1}, \dots, {\bar{x}}_{n}}$ پایه‌های $𝒱$ باشند، و اگر $A$ یک تبدیل خطی روی $𝒱$ باشد، آنگاه ماتریس $[A; 𝒳, \overset{―}{𝒳}]$ ِ $A$ نسبت به $𝒳$ و $\overset{―}{𝒳}$ باید با $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} {\bar{x}}_{i} .$ تعریف شود. تعریف به کار رفته در متن متناظر با حالت خاصی است که در آن $\overset{―}{𝒳} = 𝒳$ باشد. این حالت خاص منجر به تعریف تشابه می‌شود ( $B$ و $C$ متشابه هستند اگر پایه‌های $𝒳$ و $𝒴$ وجود داشته باشند به طوری که $[B; 𝒳] = [C; 𝒴]$ ). رابطه مشابه پیشنهاد شده توسط حالت کلی، هم‌ارزی نامیده می‌شود؛ $B$ و $C$ را هم‌ارز می‌نامند اگر جفت پایه‌های $(𝒳, \overset{―}{𝒳})$ و $(𝒴, \overset{―}{𝒴})$ وجود داشته باشند به طوری که $[B; 𝒳, \overset{―}{𝒳}] = [C; 𝒴, \overset{―}{𝒴}]$ . ثابت کنید که این مفهوم واقعاً یک رابطه هم‌ارزی است.
دو تبدیل خطی $B$ و $C$ هم‌ارز هستند اگر و تنها اگر تبدیل‌های خطی معکوس‌پذیر $P$ و $Q$ وجود داشته باشند به طوری که $P B = C Q$ .
اگر $A$ و $B$ هم‌ارز باشند، آنگاه و نیز هم‌ارز هستند.
آیا تبدیل خطی $A$ وجود دارد به طوری که $A$ هم‌ارز با یک اسکالر $α$ باشد، اما $A \neq α$ ؟
آیا تبدیل‌های خطی $A$ و $B$ وجود دارند به طوری که $A$ و $B$ هم‌ارز باشند، اما $A^{2}$ و $B^{2}$ هم‌ارز نباشند؟
مفهوم هم‌ارزی را به دو تبدیل تعریف شده روی فضاهای برداری مختلف تعمیم دهید. کدام یک از نتایج پیشین برای مفهوم تعمیم‌یافته معتبر باقی می‌مانند؟