رتبه و پوچی

اکنون توجه خود را به حالت با بعد متناهی محدود می‌کنیم و نتایج ساده‌ای را از قضیه بخش پیشین استخراج می‌کنیم.

تعریف ۱. رتبه ، $ρ (A)$ ، یک تبدیل خطی $A$ روی یک فضای برداری با بعد متناهی، بُعد $ℛ (A)$ است؛ پوچی ، $ν (A)$ ، بُعد $𝒩 (A)$ است.

قضیه ۱. اگر $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی باشد، آنگاه و $ν (A) = n - ρ (A)$ .

اثبات. قضیه بخش پیشین و بخش: نابودگرها ، قضیه ۱، با هم ایجاب می‌کنند که فرض کنید $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ هر پایه‌ای باشد که برای آن $x_{1}, \dots, x_{ν}$ در $𝒩 (A)$ باشند؛ آنگاه، برای هر $x = \sum_{i} ξ_{i} x_{i}$ ، داریم $A x = \sum_{i} ξ_{i} A x_{i} = \sum_{i = ν + 1}^{n} ξ_{i} A x_{i} .$ به عبارت دیگر، $A x$ یک ترکیب خطی از $n - ν$ بردار $A x_{ν + 1}, \dots, A x_{n}$ است؛ پس نتیجه می‌شود که $ρ (A) \leq n - ν (A)$ . با اعمال این نتیجه روی و استفاده از (۱)، به دست می‌آوریم در (۲) می‌توانیم $A$ را با جایگزین کنیم، و به دست می‌آوریم (۲) و (۳) با هم نشان می‌دهند که و (۱) و (۴) با هم نشان می‌دهند که جایگزینی $A$ با در (۵)، در نهایت می‌دهد و اثبات قضیه را به پایان می‌رساند. ◻

این نتایج معمولاً از دیدگاه کمی متفاوت مورد بحث قرار می‌گیرند. فرض کنید $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای برداری $n$ -بعدی باشد، و فرض کنید $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ یک پایه در آن فضا باشد؛ فرض کنید $[A] = (α_{i j})$ ماتریس $A$ در دستگاه مختصات $𝒳$ باشد، به طوری که $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i} .$ از آنجا که اگر $x = \sum_{j} ξ_{j} x_{j}$ ، آنگاه $A x = \sum_{j} ξ_{j} A x_{j}$ ، نتیجه می‌شود که هر بردار در $ℛ (A)$ یک ترکیب خطی از $A x_{j}$ ها، و در نتیجه از هر زیرمجموعه ماکسیمال مستقل خطی از $A x_{j}$ ها است. پس نتیجه می‌شود که تعداد ماکسیمال $A x_{j}$ های مستقل خطی دقیقاً $ρ (A)$ است. بر حسب مختصات $(α_{1 j}, \dots, α_{n j})$ از $A x_{j}$ می‌توانیم این را با گفتن اینکه $ρ (A)$ تعداد ماکسیمال ستون‌های مستقل خطی ماتریس $[A]$ است، بیان کنیم. از آنجا که ( بخش: الحاقی‌های تصویرها ) ستون‌های (که ماتریس بر حسب پایه دوگان $𝒳$ بیان شده است) همان سطرهای $[A]$ هستند، از قضیه ۱ نتیجه می‌شود که $ρ (A)$ همچنین تعداد ماکسیمال سطرهای مستقل خطی $[A]$ نیز هست. بنابراین "رتبه سطری $[A] =$ رتبه ستونی $[A] =$ رتبه $[A]$ ."

قضیه ۲. اگر $A$ یک تبدیل خطی روی فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ باشد، و اگر $ℋ$ هر زیرفضای $h$ -بعدی از $𝒱$ باشد، آنگاه بُعد $A ℋ$ برابر $\geq h - ν (A)$ است.

اثبات. فرض کنید $𝒦$ هر زیرفضایی باشد که برای آن $𝒱 = ℋ \oplus 𝒦$ ، به طوری که اگر $k$ بُعد $𝒦$ باشد، آنگاه $k = n - h$ . با اعمال $A$ به دست می‌آوریم $A 𝒱 = A ℋ + A 𝒦 .$ (این مجموع لزوماً یک مجموع مستقیم نیست؛ به بخش: حساب زیرفضاها مراجعه کنید.) از آنجا که $A 𝒱 = ℛ (A)$ دارای بُعد $n - ν (A)$ است، از آنجا که بُعد $A 𝒦$ واضحاً $\leq k = n - h$ است، و از آنجا که بُعد مجموع $\leq$ مجموع ابعاد است، نتیجه مطلوب را به دست می‌آوریم. ◻

قضیه ۳. اگر $A$ و $B$ تبدیل‌های خطی روی یک فضای برداری با بعد متناهی باشند، آنگاه و اگر $B$ معکوس‌پذیر باشد، آنگاه

اثبات. از آنجا که $(A B) x = A (B x)$ ، نتیجه می‌شود که $ℛ (A B)$ در $ℛ (A)$ محتوی است، پس $ρ (A B) \leq ρ (A)$ ، یا به عبارت دیگر، رتبه یک حاصل‌ضرب بزرگتر از رتبه عامل اول نیست. بیایید این نتیجه کمکی را روی اعمال کنیم؛ این، همراه با آنچه از قبل می‌دانیم، (۸) را به دست می‌دهد. اگر $B$ معکوس‌پذیر باشد، آنگاه $ρ (A) = ρ (A B \cdot B^{- 1}) \leq ρ (A B)$ و $ρ (A) = ρ (B^{- 1} \cdot B A) \leq ρ (B A);$ این همراه با (۸)، (۱۰) را به دست می‌دهد. معادله (۷) نتیجه مستقیم استدلالی است که قبلاً در اثبات قضیه ۲ استفاده کرده‌ایم. اثبات (۹) را به عنوان تمرین برای خواننده واگذار می‌کنیم. (راهنمایی: قضیه ۲ را با $ℋ = B 𝒱 = ℛ (B)$ اعمال کنید.) این دو فرمول (۸) و (۹) با هم به عنوان قانون پوچی سیلوستر شناخته می‌شوند. ◻