تبدیل‌های رتبه یک

اثبات. اگر $\rho (A)=0$ ، آنگاه $A=0$ ، و این گزاره بدیهی است. اگر $\rho (A)=1$ ، یعنی $ℛ(A)$ یک‌بعدی باشد، آنگاه در $ℛ(A)$ یک بردار غیرصفر $x_0$ (یک پایه در $ℛ(A)$ ) وجود دارد به طوری که هر بردار در $ℛ(A)$ مضربی از $x_0$ است. بنابراین، برای هر $x$ ، $$Ax=y_0{x}_0,$$ که در آن ضریب اسکالر $y_0$ ( $=y_0(x)$ ) البته به $x$ بستگی دارد. خطی بودن $A$ ایجاب می‌کند که $y_0$ یک تابعک خطی روی $𝒱$ باشد. فرض کنید $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک پایه در $𝒱$ باشد، و $({\alpha }_{ij})$ ماتریس متناظر $A$ باشد، به طوری که $$A{x}_j=\sum _i{\alpha }_{ij}{x}_i.$$ اگر پایه دوگان در باشد، آنگاه (ر.ک. بخش: الحاقی‌های تصویرها ، (۲)) $${\alpha }_{ij}=[A{x}_j,y_i].$$ در مورد حاضر $${\alpha }_{ij}=[y_0(x_j)x_0,y_i]=y_0(x_j)[x_0,y_i]=[x_0,y_i][x_j,y_0];$$ به عبارت دیگر، می‌توانیم ${\beta }_i=[x_0,y_i]$ و ${\gamma }_j=[x_j,y_0]$ را در نظر بگیریم.

برعکس، فرض کنید در یک دستگاه مختصات ثابت $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ ماتریس $({\alpha }_{ij})$ برای $A$ به گونه‌ای باشد که ${\alpha }_{ij}={\beta }_i{\gamma }_j$ . می‌توانیم یک تابعک خطی $y_0$ بیابیم به طوری که ${\gamma }_j=[x_j,y_0]$ ، و می‌توانیم یک بردار $x_0$ را توسط $x_0=\sum _k{\beta }_k{x}_k$ تعریف کنیم. تبدیل خطی $\tilde{A}$ که با $\tilde{A}x=y_0(x)x_0$ تعریف می‌شود، واضح است که دارای رتبه یک است (مگر اینکه، البته، ${\alpha }_{ij}=0$ برای همه $i$ و $j$ ها)، و ماتریس آن $({\tilde{\alpha }}_{ij})$ در دستگاه مختصات $𝒳$ به صورت زیر داده می‌شود $${\tilde{\alpha }}_{ij}=[\tilde{A}{x}_j,y_i]$$ (که در آن پایه دوگان $𝒳$ است). بنابراین $${\tilde{\alpha }}_{ij}=[y_0(x_j)x_0,y_i]=[x_0,y_i][x_j,y_0]={\beta }_i{\gamma }_j,$$ و از آنجا که $A$ و $\tilde{A}$ در یک دستگاه مختصات دارای ماتریس یکسانی هستند، نتیجه می‌شود که $\tilde{A}=A$ . این پایان اثبات قضیه است. ◻

اثبات. از آنجا که $A𝒱=ℛ(A)$ دارای بعد $\rho$ است، می‌توانیم $\rho$ بردار $x_1,\dots ,x_{\rho }$ بیابیم که یک پایه برای $ℛ(A)$ تشکیل می‌دهند. از این رو، برای هر بردار $x$ در $𝒱$ ، داریم $$Ax=\sum _{i=1}^{\rho }{\xi }_i{x}_i,$$ که در آن هر ${\xi }_i$ البته به $x$ بستگی دارد؛ می‌نویسیم ${\xi }_i=y_i(x)$ . به راحتی می‌توان دید که $y_i$ یک تابعک خطی است. بر حسب این $y_i$ ها، برای هر $i=1,\dots ,\rho$ ، یک تبدیل خطی $A_i$ را توسط $A_{i}x=y_i(x)x_i$ تعریف می‌کنیم. از این رو نتیجه می‌شود که هر $A_i$ دارای رتبه یک است و $A=\sum _{i=1}^{\rho }{A}_i$ . (این نتیجه را با بخش: تبدیلات خطی ، مثال (۲) مقایسه کنید.) ◻

اثبات. فرض کنید $ℛ$ و $𝒩$ به ترتیب برد و فضای پوچی $A$ باشند، و فرض کنید $\{x_1,\dots ,x_{\rho }\}$ یک پایه برای $ℛ$ باشد. فرض کنید $x_{\rho +1},\dots ,x_n$ بردارهایی باشند به طوری که $\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک پایه برای $𝒱$ باشد. از آنجا که $x_i$ برای $i=1,\dots ,\rho$ در $ℛ$ قرار دارد، می‌توانیم بردارهای $y_i$ را بیابیم به طوری که $A{y}_i=x_i$ ؛ در نهایت، یک پایه برای $𝒩$ انتخاب می‌کنیم، که می‌توانیم آن را با $\{y_{\rho +1},\dots ,y_n\}$ نشان دهیم. ادعا می‌کنیم که $\{y_1,\dots ,y_n\}$ یک پایه برای $𝒱$ است. البته، تنها نیاز داریم ثابت کنیم که $y$ ها مستقل خطی هستند. برای این منظور فرض می‌کنیم $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$ ؛ آنگاه داریم (با به یاد آوردن اینکه برای $i=\rho +1,\dots ,n$ بردار $y_i$ متعلق به $𝒩$ است) $$A(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i)=\sum _{i=1}^{\rho }{\alpha }_i{x}_i=0,$$ که از آن نتیجه می‌شود ${\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_{\rho }=0$ . در نتیجه $\sum _{i=\rho +1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$ ؛ استقلال خطی $y_{\rho +1},\dots ,y_n$ نشان می‌دهد که $\alpha$ های باقی‌مانده نیز باید صفر شوند.

یک تبدیل خطی $P$ ، از نوعی که وجود آن را ادعا کردیم، اکنون توسط شرایط $P{x}_i=y_i$ ، $i=1,\dots ,n$ تعیین می‌شود. در واقع، اگر $i=1,\dots ,\rho$ ، آنگاه $PA{y}_i=P{x}_i=y_i$ ، و اگر $i=\rho +1,\dots ,n$ ، آنگاه $PA{y}_i=P0=0$ . ◻