تبدیل‌ها به عنوان بردارها

اکنون به استخراج برخی خواص ابتدایی و روابط میان تبدیلات خطی روی یک فضای برداری می‌پردازیم. به طور خاص‌تر، چندین روش برای ساختن تبدیلات جدید از تبدیلات قدیمی را نشان خواهیم داد؛ عموماً به ارائه تعریف تبدیلات جدید بسنده کرده و اثبات خطی بودن را حذف خواهیم کرد.

اگر $A$ و $B$ تبدیلات خطی باشند، جمع آن‌ها را، $S = A + B$ ، با معادله $S x = A x + B x$ (برای هر $x$ ) تعریف می‌کنیم. مشاهده می‌کنیم که جابجایی و شرکت‌پذیری جمع در $𝒱$ بلافاصله نتیجه می‌دهد که جمع تبدیلات خطی جابجایی و شرکت‌پذیر است. بسیار بیشتر از این نیز صادق است. اگر جمع هر تبدیل خطی $A$ و تبدیل خطی $0$ (که در بخش قبل تعریف شد) را در نظر بگیریم، می‌بینیم که $A + 0 = A$ . اگر، برای هر $A$ ، تبدیل تعریف شده با $(- A) x = - (A x)$ را با $- A$ نشان دهیم، می‌بینیم که $A + (- A) = 0$ ، و اینکه تبدیل $- A$ ، که بدین گونه تعریف شده، تنها تبدیل خطی $B$ با این خاصیت است که $A + B = 0$ . خلاصه اینکه: خواص یک فضای برداری، که در اصول موضوعه (A) در بخش: فضاهای برداری توصیف شده‌اند، مجدداً در مجموعه تمام تبدیلات خطی روی فضا ظاهر می‌شوند؛ مجموعه تمام تبدیلات خطی نسبت به عمل جمع یک گروه آبلی است.

با همان رویه ادامه می‌دهیم. اکنون دیگر کسی تعجب نخواهد کرد اگر اصول موضوعه (B) و (C) فضاهای برداری نیز توسط مجموعه تمام تبدیلات خطی ارضا شوند. آن‌ها ارضا می‌شوند. برای هر $A$ ، و هر اسکالر $α$ ، حاصل‌ضرب $α A$ را با معادله $(α A) x = α (A x)$ تعریف می‌کنیم. اصول موضوعه (B) و (C) بلافاصله تأیید می‌شوند؛ ما به شرح زیر خلاصه می‌کنیم.

قضیه ۱. مجموعه تمام تبدیلات خطی روی یک فضای برداری، خود یک فضای برداری است.

ما معمولاً این قضیه را نادیده خواهیم گرفت؛ دلیل آن این است که می‌توانیم چیزهای بسیار بیشتری درباره تبدیلات خطی بگوییم، و صرفِ این واقعیت که آن‌ها یک فضای برداری تشکیل می‌دهند تنها به ندرت مورد استفاده قرار می‌گیرد. «چیزهای بسیار بیشتری» که می‌توانیم بگوییم این است که یک تعریف کم و بیش مناسب از ضرب برای تبدیلات خطی وجود دارد، که در بخش بعدی به بحث درباره آن می‌پردازیم.

تمرین‌ها

تمرین ۱. ثابت کنید هر یک از تناظرهای توصیف شده در زیر یک تبدیل خطی است.

$𝒱$ مجموعه $ℂ$ اعداد مختلط است که به عنوان یک فضای برداری حقیقی در نظر گرفته شده است؛ $A x$ مزدوج مختلط $x$ است.
$𝒱$ برابر با $𝒫$ است؛ اگر $x$ یک چندجمله‌ای باشد، آنگاه $(A x) (t) = x (t + 1) - x (t)$ .
$𝒱$ حاصل‌ضرب تانسوری $k$ -تایی یک فضای برداری با خودش است؛ $A$ چنان است که $A (x_{1} \otimes \dots \otimes x_{k}) = x_{π (1)} \otimes \dots \otimes x_{π (k)},$ که در آن $π$ یک جایگشت از ${1, \dots, k}$ است.
$𝒱$ مجموعه تمام فرم‌های $k$ -خطی روی یک فضای برداری است؛ $(A w) (x_{1}, \dots, x_{k}) = w (x_{π (1)} \dots, x_{π (k)}),$ که در آن $π$ یک جایگشت از ${1, \dots, k}$ است.
$𝒱$ مجموعه تمام فرم‌های $k$ -خطی روی یک فضای برداری است؛ اگر $w$ در $𝒱$ باشد، آنگاه $A w = \sum π w$ ، که در آن جمع روی تمام جایگشت‌های $π$ در $𝒮_{k}$ گسترش می‌یابد.
مانند (e) با این تفاوت که $A w = \sum (sgn π) π w$ .

تمرین ۲. ثابت کنید اگر $𝒱$ یک فضای برداری متناهی‌بعد باشد، آنگاه فضای تمام تبدیلات خطی روی $𝒱$ متناهی‌بعد است، و بعد آن را بیابید.

تمرین ۳. مفهوم «تبدیل خطی»، همان‌طور که در متن تعریف شده است، برای برخی مقاصد بیش از حد خاص است. طبق یک تعریف کلی‌تر، یک تبدیل خطی از یک فضای برداری $𝒰$ به یک فضای برداری $𝒱$ روی همان میدان، تناظری مانند $A$ است که به هر بردار $x$ در $𝒰$ یک بردار $A x$ در $𝒱$ نسبت می‌دهد به طوری که $A (α x + β y) = α A x + β A y$ ثابت کنید هر یک از تناظرهای توصیف شده در زیر یک تبدیل خطی در این مفهوم تعمیم‌یافته است.

$𝒱$ میدان اسکالرهای $𝒰$ است؛ $A$ یک تابعک خطی روی $𝒰$ است.
$𝒰$ جمع مستقیم $𝒱$ با یک فضای دیگر است؛ $A$ هر جفت در $𝒰$ را به مختصه اول آن می‌نگارد.
$𝒱$ خارج‌قسمت $𝒰$ به پیمانه یک زیرفضا است؛ $A$ هر بردار در $𝒰$ را به هم‌دسته‌ای که تعیین می‌کند می‌نگارد.
فرض کنید $w$ یک تابعک دوخطی روی یک جمع مستقیم $𝒰 \oplus 𝒱_{0}$ باشد. فرض کنید $𝒱$ دوگان $𝒱_{0}$ باشد، و $A$ را به عنوان تناظری تعریف کنید که به هر $x_{0}$ در $𝒰$ تابعک خطی روی $𝒱_{0}$ را نسبت می‌دهد که از $w$ با قرار دادن آرگومان اول آن برابر با $x_{0}$ به دست می‌آید.

تمرین ۴.

فرض کنید $𝒰$ و $𝒱$ فضاهای برداری روی یک میدان باشند. اگر $A$ و $B$ تبدیلات خطی از $𝒰$ به $𝒱$ باشند، اگر $α$ و $β$ اسکالر باشند، و اگر $C x = α A x + β B x$ برای هر $x$ در $𝒰$ ، آنگاه $C$ یک تبدیل خطی از $𝒰$ به $𝒱$ است.
اگر طبق تعریف بنویسیم $C = α A + β B$ ، آنگاه مجموعه تمام تبدیلات خطی از $𝒰$ به $𝒱$ با توجه به این تعریف از اعمال خطی، به یک فضای برداری تبدیل می‌شود.
ثابت کنید اگر $𝒰$ و $𝒱$ متناهی‌بعد باشند، آنگاه فضای تمام تبدیلات خطی از $𝒰$ به $𝒱$ نیز متناهی‌بعد است، و بعد آن را بیابید.

تمرین ۵. فرض کنید $ℳ$ یک زیرفضای $m$ -بعدی از یک فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ باشد. ثابت کنید مجموعه آن دسته از تبدیلات خطی $A$ روی $𝒱$ که به ازای آن‌ها $A x = 0$ هرگاه $x$ در $ℳ$ باشد، یک زیرفضا از مجموعه تمام تبدیلات خطی روی $𝒱$ است، و بعد آن زیرفضا را بیابید.