تبدیلات خطی

مثال ۱. دو تبدیل خاص که اهمیت قابل توجهی برای مطالعه پیش رو دارند، و ما همواره نمادهای $0$ و $1$ را به ترتیب برای آن‌ها محفوظ نگه می‌داریم، (برای همه $x$ ها) به صورت $0x=0$ و $1x=x$ تعریف می‌شوند.

مثال ۲. فرض کنید $x_0$ هر بردار ثابتی در $𝒱$ ، و $y_0$ هر تابعی خطی روی $𝒱$ باشد؛ می‌نویسیم $Ax=y_0(x)\cdot x_0$ . به طور کلی‌تر: فرض کنید $\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک مجموعه متناهی دلخواه از بردارها در $v$ و $\{y_1,\dots ,y_n\}$ یک مجموعه متناظر از تابعی‌های خطی روی $𝒱$ باشد؛ می‌نویسیم $Ax=y_1(x)x_1+\cdots +y_n(x)x_n$ . اثبات اینکه اگر، به ویژه، $𝒱$ یک فضای $n$ -بعدی باشد، و بردارهای $x_1,\dots ,x_n$ یک پایه برای $𝒱$ تشکیل دهند، آنگاه هر تبدیل خطی $A$ شکلی که به تازگی توصیف شد را دارد، دشوار نیست.

مثال ۳. فرض کنید $\pi$ یک جایگشت از اعداد صحیح $\{1,\dots ,n\}$ باشد؛ اگر $x=({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ یک بردار در ${ℂ}^n$ باشد، می‌نویسیم $Ax=({\xi }_{\pi (1)},\dots ,{\xi }_{\pi (n)})$ . به طور مشابه، فرض کنید $\pi$ یک چندجمله‌ای با ضرایب مختلط باشد؛ اگر $x$ یک بردار (چندجمله‌ای) در $𝒫$ باشد، برای چندجمله‌ای تعریف شده توسط $y(t)=x(\pi (t))$ می‌نویسیم $Ax=y$ .

مثال ۴. برای هر $x$ در ${𝒫}_n,x(t)=\sum _{j=0}^{n-1}{\xi }_j{t}^j$ ، می‌نویسیم $(Dx)(t)=\sum _{j=0}^{n-1}j{\xi }_j{t}^{j-1}$ . (ما در اینجا از حرف $D$ به عنوان یادآوری استفاده می‌کنیم که $Dx$ مشتق چندجمله‌ای $x$ است. یادآور می‌شویم که می‌توانستیم $D$ را روی $𝒫$ و همچنین روی ${𝒫}_n$ تعریف کنیم؛ بعداً از این واقعیت استفاده خواهیم کرد. توجه کنید که برای چندجمله‌ای‌ها، تعریف مشتق‌گیری می‌تواند کاملاً جبری ارائه شود، و نیازی به نظریه معمول فرآیندهای حدی ندارد.)

مثال ۵. برای هر $x$ در $𝒫$ ، $x(t)=\sum _{j=0}^{n-1}{\xi }_j{t}^j$ ، می‌نویسیم $(Sx)(t)=\sum _{j=0}^{n-1}\frac{{\xi }_j}{j+1}{t}^{j+1}$ . (یک بار دیگر، ما یک مفهوم تحلیلی شناخته شده را با نمادگذاری جبری پنهان می‌کنیم. همان‌طور که در (۴) $(Dx)(t)$ نشان‌دهنده $\frac{dx}{dt}$ بود، در اینجا نیز $(Sx)(t)$ همان ${\displaystyle {\int }_0^{t}x(s)ds.}$ است.)

مثال ۶. فرض کنید $m$ یک چندجمله‌ای با ضرایب مختلط بر حسب متغیر $t$ باشد. (ما ممکن است، هرچند انجام این کار چندان سودمند نیست، $m$ را به عنوان یک عنصر از $𝒫$ در نظر بگیریم.) برای هر $x$ در $𝒫$ ، برای چندجمله‌ای تعریف شده توسط $(Mx)(t)=m(t)x(t)$ می‌نویسیم $Mx$ . برای مقاصد بعدی یک نماد خاص معرفی می‌کنیم؛ در صورتی که $m(t)=t$ باشد، برای تبدیل $M$ خواهیم نوشت $T$ ، به طوری که $(Tx)(t)=tx(t)$ .