الحاقی‌ها

در ادامه، رابطه میان مفاهیم تبدیل خطی و فضای دوگان را بررسی می‌کنیم. فرض کنید $𝒱$ یک فضای برداری دلخواه و $y$ عضوی دلخواه از باشد؛ برای هر تبدیل خطی $A$ روی $𝒱$ عبارت $[Ax,y]$ را در نظر می‌گیریم. برای هر $y$ ثابت، تابع که با تعریف می‌شود، یک تابعک خطی روی $𝒱$ است؛ با استفاده از نمادگذاری کروشه برای و همچنین برای $y$ ، داریم . اگر اکنون اجازه دهیم $y$ در تغییر کند، آنگاه این رویه به هر $y$ یک را نظیر می‌کند که البته به $y$ بستگی دارد؛ می‌نویسیم . ویژگی تعریف‌کننده عبارت است از ادعا می‌کنیم که یک تبدیل خطی روی است. در واقع، اگر $y={\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2$ باشد، آنگاه تبدیل خطی را الحاقی (یا دوگان) $A$ می‌نامند؛ این بخش و بخش بعد را به بررسی ویژگی‌های اختصاص می‌دهیم. ابتدا قواعد جبری صوری را مرور می‌کنیم؛ این قواعد به شرح زیر هستند.

در اینجا (7) باید به این معنا تفسیر شود: اگر $A$ وارون‌پذیر باشد، آنگاه نیز وارون‌پذیر است و معادله معتبر است. اثبات همه این روابط مقدماتی است؛ برای نشان دادن روش کار، محاسبات را برای (6) و (7) انجام می‌دهیم. برای اثبات (6)، کافی است توجه کنیم که برای اثبات (7)، فرض می‌کنیم $A$ وارون‌پذیر است، به طوری که $A{A}^{-1}=A^{-1}A=1$ . با اعمال (3) و (6) بر این معادلات، به دست می‌آوریم قضیه ۱ از بخش: وارون‌ها نتیجه می‌دهد که وارون‌پذیر است و (7) معتبر می‌باشد.

در فضاهای با بعد متناهی، رابطه مهم دیگری نیز برقرار است: این رابطه باید با کمی تأمل و دقت خوانده شود. همان‌طور که هست، تبدیلی نیست که روی $𝒱$ عمل کند، بلکه روی فضای دوگان از عمل می‌کند. با این حال، اگر و $𝒱$ را بر اساس ایزومورفیسم طبیعی یکی بگیریم، آنگاه روی $𝒱$ عمل می‌کند و (8) معنادار می‌شود. در این تفسیر، اثبات (8) بدیهی است. از آنجا که $𝒱$ بازتابی است، هر تابعک خطی روی را با در نظر گرفتن $[x,y]$ به عنوان تابعی از $y$ ، در حالی که $x$ در $𝒱$ ثابت است، به دست می‌آوریم. از آنجا که تابعی (یک تابعک خطی) از $y$ تعریف می‌کند، می‌توان آن را به فرم نوشت. بردار در اینجا، طبق تعریف، است. بنابراین، برای هر $y$ در و برای هر $x$ در $𝒱$ ، داریم تساوی اولین و آخرین جمله این زنجیره، (8) را اثبات می‌کند.

تحت فرض (8) (یعنی متناهی‌بعد بودن)، عدم تقارن در تفسیر (7) را می‌توان برطرف کرد؛ ادعا می‌کنیم که در این حالت، وارون‌پذیری نتیجه می‌دهد که $A$ نیز وارون‌پذیر است و بنابراین (7) معتبر است. اثبات: تفسیر قبلی (7) را به جای $A$ و ، بر و اعمال می‌کنیم.

بحث ما در حالت بازتابی متناهی‌بعد، با این ادعا خلاصه می‌شود که نگاشت یک‌به‌یک و در واقع یک پادایزومورفیسم جبری، از مجموعه تمام تبدیلات خطی روی $𝒱$ به روی مجموعه تمام تبدیلات خطی روی است. (پیشوند "پاد" به دلیل قاعده جابجایی (6) اضافه شده است.)