الحاقی فرافکنی‌ها

یک مورد مهم وجود دارد که در آن ضرب جابه‌جا نمی‌شود، یعنی زمانی که ؛ به عبارت دیگر، موردی که در آن $A$ و $B$ جابه‌جاپذیر باشند. به طور خاص داریم، ، و به طور کلی‌تر، برای هر چندجمله‌ای $p$ . از این رو نتیجه می‌شود که اگر $E$ یک تصویر باشد، آنگاه نیز یک تصویر است. این پرسش مطرح می‌شود: با چه تجزیه مجموع مستقیمی مرتبط است؟

قضیه ۱. اگر $E$ تصویر بر $ℳ$ در امتداد $𝒩$ باشد، آنگاه تصویر بر $𝒩^{0}$ در امتداد $ℳ^{0}$ است.

اثبات. ما از پیش می‌دانیم که و (ر.ک. بخش: دوگان یک مجموع مستقیم ). تنها لازم است زیرفضاهای متشکل از جواب‌های و را بیابیم. این کار را در چهار مرحله انجام می‌دهیم.

اگر $y$ در $ℳ^{0}$ باشد، آنگاه برای هر $x$ ، به طوری که .
اگر ، آنگاه برای هر $x$ در $ℳ$ ، به طوری که $y$ در $ℳ^{0}$ است.
اگر $y$ در $𝒩^{0}$ باشد، آنگاه برای هر $x$ ، به طوری که .
اگر ، آنگاه برای هر $x$ در $𝒩$ ، به طوری که $y$ در $𝒩^{0}$ است.

مراحل (i) و (ii) با هم نشان می‌دهند که مجموعه جواب‌های دقیقاً $ℳ^{0}$ است؛ مراحل (iii) و (iv) با هم نشان می‌دهند که مجموعه جواب‌های دقیقاً $𝒩^{0}$ است. این اثبات قضیه را به پایان می‌برد. ◻

قضیه ۲. اگر $ℳ$ تحت $A$ ناوردا باشد، آنگاه $ℳ^{0}$ تحت ناوردا است؛ اگر $A$ توسط $(ℳ, 𝒩)$ تحویل‌پذیر باشد، آنگاه توسط $(ℳ^{0}, 𝒩^{0})$ تحویل‌پذیر است.

اثبات. ما تنها عبارت اول را اثبات خواهیم کرد؛ عبارت دوم به وضوح از آن نتیجه می‌شود. ابتدا اتحاد زیر را مشاهده می‌کنیم که برای هر سه تبدیل خطی $E$ ، $F$ و $A$ ، با شرط $F = 1 - E$ معتبر است: (این را با اثبات بخش: تصاویر و ناوردایی ، قضیه ۲ مقایسه کنید.) فرض کنید $E$ هر تصویری بر $ℳ$ باشد؛ طبق بخش: تصاویر و ناوردایی ، قضیه ۱، عضو سمت راست (1) صفر می‌شود، و بنابراین، عضو سمت چپ نیز صفر می‌شود. با گرفتن الحاقی‌ها، به دست می‌آوریم ؛ از آنجا که، طبق قضیه ۱ از همین بخش، یک تصویر بر $ℳ^{0}$ است، اثبات قضیه ۲ کامل می‌شود. (در اینجا یک اثبات جایگزین برای عبارت اول قضیه ۲ آورده شده است، اثباتی که از این واقعیت استفاده نمی‌کند که $𝒱$ مجموع مستقیم $ℳ$ و برخی زیرفضاهای دیگر است. اگر $y$ در $ℳ^{0}$ باشد، آنگاه برای هر $x$ در $ℳ$ ، و بنابراین در $ℳ^{0}$ است. تنها مزیت اثبات جبری ارائه شده در بالا نسبت به این اثبات هندسی ساده این است که اثبات اول زمینه را برای کارهای آینده با تصاویر آماده می‌کند.) ◻

بحث خود در مورد الحاقی‌ها را با بررسی ماتریس‌های آن‌ها به پایان می‌رسانیم؛ این بحث با هدف روشن کردن کل نظریه و توانمند ساختن خواننده برای ساختن مثال‌های بسیار انجام می‌شود.

ما به واقعیت زیر نیاز خواهیم داشت: اگر $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ هر پایه‌ای در فضای برداری $n$ -بعدی $𝒱$ باشد، اگر پایه دوگان در باشد، و اگر ماتریس تبدیل خطی $A$ در دستگاه مختصات $𝒳$ برابر $(α_{i j})$ باشد، آنگاه این از تعریف ماتریس یک تبدیل خطی نتیجه می‌شود؛ زیرا $A x_{j} = \sum_{k} α_{k j} x_{k}$ ، داریم $[A x_{j}, y_{i}] = \sum_{k} α_{k j} [x_{k}, y_{i}] = α_{i j} .$ برای اینکه امور در کاربردها روشن بماند، فرمول (2) را به صورت کلامی بازگو می‌کنیم، بدین ترتیب: برای یافتن درایه $(i, j)$ از $[A]$ در پایه $𝒳$ ، $A$ را بر $j$ -مین عنصر $𝒳$ اعمال کنید و سپس مقدار $i$ -مین تابعک خطی (در ) را در بردار به دست آمده محاسبه کنید.

اکنون یافتن ماتریس در دستگاه مختصات بسیار آسان است؛ ما صرفاً دستورالعملی که به تازگی داده شد را دنبال می‌کنیم. به عبارت دیگر، را در نظر می‌گیریم، و مقدار $i$ -مین تابعک خطی در (یعنی $x_{i}$ که به عنوان یک تابعک خطی روی در نظر گرفته شده است) را در این بردار محاسبه می‌کنیم؛ نتیجه این است که از آنجا که ، به طوری که ، این ماتریس را ترانهاده $[A]$ می‌نامند.

توجه کنید که نتایج ما در مورد رابطه بین $E$ و (که در آن $E$ یک تصویر است) همچنین می‌توانست با استفاده از حقایق مربوط به نمایش ماتریسی یک تصویر همراه با نتیجه حاضر در مورد ماتریس‌های تبدیلات الحاقی به دست آید.