ارزش‌های بایسته

یک اسکالر $\lambda$ یک مقدار ویژه و یک بردار غیرصفر $x$ یک بردار ویژه از یک تبدیل خطی $A$ است اگر $Ax=\lambda x$ . تقریباً هر ترکیبی از صفات ویژه، نهفته، مشخصه، آیگن، و سکولار، با اسامی ریشه، عدد، و مقدار، در متون برای آنچه ما مقدار ویژه می‌نامیم استفاده شده است. مهم است که از ترتیب انتخاب در تعریف آگاه باشید؛ $\lambda$ یک مقدار ویژه از $A$ است اگر یک بردار غیرصفر $x$ وجود داشته باشد که برای آن $Ax=\lambda x$ ، و یک بردار غیرصفر $x$ یک بردار ویژه از $A$ است اگر یک اسکالر $\lambda$ وجود داشته باشد که برای آن $Ax=\lambda x$ .

فرض کنید که $\lambda$ یک مقدار ویژه از $A$ باشد؛ فرض کنید $ℳ$ مجموعه تمام بردارهای $x$ باشد که بردارهای ویژه $A$ متعلق به این مقدار ویژه هستند، یعنی، برای آن‌ها $Ax=\lambda x$ . از آنجا که، طبق تعریف ما، $0$ یک بردار ویژه نیست، $ℳ$ شامل $0$ نمی‌شود؛ با این حال، اگر $ℳ$ را با الحاق مبدأ به آن بزرگ کنیم، آنگاه $ℳ$ به یک زیرفضا تبدیل می‌شود. ما تعدد مقدار ویژه $\lambda$ را به عنوان بُعد زیرفضای $ℳ$ تعریف می‌کنیم؛ یک مقدار ویژه ساده مقداری است که تعدد آن برابر با $1$ باشد. با یک تعمیم بدیهی از این اصطلاحات، می‌توانیم این واقعیت را که یک اسکالر $\lambda$ اصلاً مقدار ویژه $A$ نیست، با گفتن اینکه $\lambda$ یک مقدار ویژه با تعدد صفر است، بیان کنیم. مجموعه مقادیر ویژه $A$ گاهی اوقات طیف $A$ نامیده می‌شود. توجه داشته باشید که طیف $A$ همان مجموعه تمام اسکالرهای $\lambda$ است که برای آن‌ها $A-\lambda$ وارون‌پذیر نیست.

اگر فضای برداری که با آن کار می‌کنیم دارای بُعد $n$ باشد، آنگاه اسکالر $0$ یک مقدار ویژه با تعدد $n$ از تبدیل خطی $0$ است، و به طور مشابه، اسکالر $1$ یک مقدار ویژه با تعدد $n$ از تبدیل خطی $1$ است. از آنجا که $Ax=\lambda x$ اگر و تنها اگر $(A-\lambda )x=0$ ، یعنی، اگر و تنها اگر $x$ در فضای پوچ $A-\lambda$ باشد، نتیجه می‌شود که تعدد $\lambda$ به عنوان یک مقدار ویژه از $A$ همان پوچی تبدیل خطی $A-\lambda$ است. از این رو، به نوبه خود، استنتاج می‌کنیم (به بخش: رتبه و پوچی ، قضیه ۱ مراجعه کنید) که مقادیر ویژه $A$ ، همراه با تعددهای مرتبط با آن‌ها، دقیقاً همان مقادیر ویژه هستند.

مشاهده می‌کنیم که اگر $B$ هر تبدیل وارون‌پذیری باشد، آنگاه $$BA{B}^{-1}-\lambda =B(A-\lambda )B^{-1},$$ به طوری که $(A-\lambda )x=0$ اگر و تنها اگر $(BA{B}^{-1}-\lambda )Bx=0$ . این بدان معناست که تمام مفاهیم طیفی (برای مثال، طیف و تعددهای مقادیر ویژه) تحت جایگزینی $A$ با $BA{B}^{-1}$ ناوردا هستند. همچنین توجه می‌کنیم که اگر $Ax=\lambda x$ ، آنگاه به طور کلی‌تر، اگر $p$ هر چندجمله‌ای باشد، آنگاه $p(A)x=p(\lambda )x$ ، به طوری که هر بردار ویژه $A$ ، متعلق به مقدار ویژه $\lambda$ ، همچنین یک بردار ویژه از $p(A)$ ، متعلق به مقدار ویژه $p(\lambda )$ است. بنابراین اگر $A$ در هر معادله‌ای به فرم $p(A)=0$ صدق کند، آنگاه $p(\lambda )=0$ برای هر مقدار ویژه $\lambda$ از $A$ .

از آنجا که یک شرط لازم و کافی برای اینکه $A-\lambda$ دارای یک فضای پوچ غیربدیهی باشد این است که تکین باشد، یعنی، $\det (A-\lambda )=0$ ، نتیجه می‌شود که $\lambda$ یک مقدار ویژه از $A$ است اگر و تنها اگر یک ریشه مشخصه از $A$ باشد. این واقعیت دلیل اهمیت دترمینان‌ها در جبر خطی است. مفهوم هندسی مفید، مفهوم مقدار ویژه است. با این حال، از هندسه موقعیت، غیرممکن است ثابت کنیم که اصلاً مقدار ویژه‌ای وجود دارد. با استفاده از دترمینان‌ها، مسئله را به یک مسئله جبری تقلیل می‌دهیم؛ مشخص می‌شود که مقادیر ویژه همان ریشه‌های یک معادله چندجمله‌ای خاص هستند. حال جای تعجب نیست که اثبات اینکه مقادیر ویژه همیشه وجود دارند دشوار است: معادلات چندجمله‌ای همیشه ریشه ندارند، و متناظراً، مثال‌های ساده‌ای از تبدیلات خطی بدون هیچ مقدار ویژه‌ای وجود دارد.