پیچیده‌سازی

در چند بخش گذشته، ما فضاهای برداری حقیقی و مختلط را هم‌زمان مورد بررسی قرار داده‌ایم. گاهی اوقات این کار امکان‌پذیر نیست؛ دستگاه اعداد مختلط غنی‌تر از حقیقی است. قضایایی وجود دارند که هم برای فضاهای حقیقی و هم مختلط صادق هستند، اما اثبات آن‌ها در حالت مختلط بسیار ساده‌تر است، و قضایایی وجود دارند که برای فضاهای مختلط صادق هستند اما برای فضاهای حقیقی خیر. (نمونه‌ای از نوع دوم این ادعاست که اگر فضا متناهی‌بعد باشد، آنگاه هر تبدیل خطی دارای یک مقدار ویژه است.) به این دلایل، اغلب مفید است که بتوانیم یک فضای برداری حقیقی را «مختلط‌سازی» کنیم، یعنی یک فضای برداری مختلط با اساساً همان ویژگی‌ها را به آن نسبت دهیم. هدف این بخش توصیف چنین فرآیندی از مختلط‌سازی است.

فرض کنید $𝒱$ یک فضای برداری حقیقی باشد، و فرض کنیم ${𝒱}^{+}$ مجموعه تمام زوج‌های مرتب $⟨x,y⟩$ باشد به طوری که هم $x$ و هم $y$ در $𝒱$ باشند. مجموع دو عنصر از ${𝒱}^{+}$ را به صورت $$⟨x_1,y_1⟩+⟨x_2,y_2⟩=⟨x_1+x_2,y_1+y_2⟩,$$ تعریف کنید، و حاصل‌ضرب یک عنصر از ${𝒱}^{+}$ در یک عدد مختلط $\alpha +i\beta$ ( $\alpha$ و $\beta$ حقیقی، $i=\sqrt{-1}$ ) را به صورت $$(\alpha +i\beta )⟨x,y⟩=⟨\alpha x-\beta y,\beta x+\alpha y⟩.$$ تعریف کنید. (برای به خاطر سپردن این فرمول‌ها، فرض کنید که $⟨x,y⟩$ به معنای $x+iy$ است.) یک محاسبه سرراست و تنها کمی پرزحمت نشان می‌دهد که مجموعه ${𝒱}^{+}$ با توجه به این تعاریف از عملیات خطی، به یک فضای برداری مختلط تبدیل می‌شود.

مجموعه آن دسته از عناصر $⟨x,y⟩$ از ${𝒱}^{+}$ که برای آن‌ها $y=0$ است، در یک تناظر یک‌به‌یک طبیعی با فضای $𝒱$ قرار دارد. از آنجا که ${𝒱}^{+}$ یک فضای برداری مختلط است، می‌توان آن را به عنوان یک فضای برداری حقیقی نیز در نظر گرفت؛ اگر هر عنصر $x$ از $𝒱$ را با نسخه بدل آن $⟨x,0⟩$ در ${𝒱}^{+}$ یکی بگیریم (انجام این کار بسیار راحت است)، می‌توانیم بگوییم که $v^{+}$ (به عنوان یک فضای برداری حقیقی) شامل $𝒱$ است. از آنجا که $⟨0,y⟩=i⟨y,0⟩$ ، پس $⟨x,y⟩=⟨x,0⟩+i⟨y,0⟩$ ، قرارداد یکی‌گیری ما به ما این امکان را می‌دهد که بگوییم هر بردار در ${𝒱}^{+}$ دارای فرم $x+iy$ است، به طوری که $x$ و $y$ در $𝒱$ هستند. از آنجا که $𝒱$ و $i𝒱$ (که در آن $i𝒱$ نشان‌دهنده مجموعه تمام عناصر $⟨x,y⟩$ در ${𝒱}^{+}$ با $x=0$ است) زیرمجموعه‌هایی از ${𝒱}^{+}$ هستند که تنها $0$ (یعنی $⟨0,0⟩$ ) را مشترک دارند، نتیجه می‌شود که نمایش یک بردار از ${𝒱}^{+}$ به فرم $x+iy$ (با $x$ و $y$ در $𝒱$ ) یکتاست. بدین ترتیب ما یک فضای برداری مختلط ${𝒱}^{+}$ را با این ویژگی ساخته‌ایم که ${𝒱}^{+}$ وقتی به عنوان یک فضای حقیقی در نظر گرفته شود، شامل $𝒱$ به عنوان یک زیرفضا است، و به طوری که ${𝒱}^{+}$ مجموع مستقیم $𝒱$ و $i𝒱$ است. (در اینجا $i𝒱$ نشان‌دهنده مجموعه تمام آن عناصر از ${𝒱}^{+}$ است که دارای فرم $iy$ برای مقداری $y$ در $𝒱$ هستند.) ما ${𝒱}^{+}$ را مختلط‌سازی ِ $𝒱$ می‌نامیم.

اگر $\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک مجموعه مستقل خطی در $𝒱$ (با ضرایب حقیقی) باشد، آنگاه این مجموعه در ${𝒱}^{+}$ (با ضرایب مختلط) نیز یک مجموعه مستقل خطی است. در واقع، اگر ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ اعداد حقیقی باشند به طوری که $\sum _j({\alpha }_j+i{\beta }_j)x_j$ $=0$ ، آنگاه $(\sum _j{\alpha }_j{x}_j)+i(\sum _j{\beta }_j{x}_j)=0$ ، و در نتیجه، با توجه به یکتایی نمایش بردارها در ${𝒱}^{+}$ توسط بردارهای موجود در $𝒱$ ، نتیجه می‌شود که $\sum _j{\alpha }_j{x}_j=\sum _j{\beta }_j{x}_j=0$ ؛ نتیجه مطلوب اکنون از استقلال خطی (حقیقی) فرض‌شده برای $\{x_1,\dots ,x_n\}$ در $𝒱$ استنباط می‌شود. اگر، علاوه بر این، $\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک پایه در $𝒱$ (با ضرایب حقیقی) باشد، آنگاه در ${𝒱}^{+}$ (با ضرایب مختلط) نیز یک پایه است. در واقع، اگر $x$ و $y$ در $𝒱$ باشند، آنگاه اعداد حقیقی ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ وجود دارند به طوری که $x=\sum _j{\alpha }_j{x}_j$ و $y=$ $\sum _j{\beta }_j{x}_j$ ؛ نتیجه می‌شود که $x+iy=\sum _j({\alpha }_j+i{\beta }_j)x_j$ ، و از این رو $\{x_1,\dots ,x_n\}$ فضای ${𝒱}^{+}$ را تولید می‌کند. این نتایج دلالت بر این دارند که فضای برداری مختلط ${𝒱}^{+}$ دارای همان بُعد فضای برداری حقیقی $𝒱$ است.

یک راه طبیعی برای بسط هر تبدیل خطی $A$ روی $𝒱$ به یک تبدیل خطی $A^{+}$ روی ${𝒱}^{+}$ وجود دارد؛ ما می‌نویسیم $$A^{+}(x+iy)=Ax+iAy$$ هرگاه $x$ و $y$ در $𝒱$ باشند. (تأیید اینکه $A^{+}$ واقعاً یک تبدیل خطی روی ${𝒱}^{+}$ است، کاری معمول است.) یک بسط مشابه برای تابعی‌های خطی و حتی چندخطی نیز کارساز است. به عنوان مثال، اگر $w$ یک تابعی دوخطی (حقیقی) روی $𝒱$ باشد، بسط آن به ${𝒱}^{+}$ همان تابعی دوخطی (مختلط) تعریف‌شده توسط است.

از سوی دیگر، اگر $w$ متناوب باشد، آنگاه همین امر برای $w^{+}$ نیز صادق است. در واقع، قسمت‌های حقیقی و موهومی $w^{+}(x+iy,x+iy)$ به ترتیب $w(x,x)-w(y,y)$ و $w(x,y)+w(y,x)$ هستند؛ اگر $w$ متناوب باشد، آنگاه $w$ پادمتقارن است ( بخش: فرم‌های متناوب ، قضیه ۱)، و بنابراین $w^{+}$ متناوب است. همان اثبات، نتیجه متناظر را برای تابعی‌های $k$ -خطی نیز، برای تمام مقادیر $k$ ، برقرار می‌کند. از این موضوع و از تعریف دترمینان‌ها نتیجه می‌شود که $\det A=\det A^{+}$ برای هر تبدیل خطی $A$ روی $𝒱$ .

روش بسط تابعی‌های دوخطی برای تابعی‌های دوخطی مزدوج نیز کارساز است. یعنی، اگر $𝒱$ یک فضای ضرب داخلی (حقیقی) باشد، آنگاه یک راه طبیعی برای معرفی یک ضرب داخلی (مختلط) در ${𝒱}^{+}$ وجود دارد؛ ما طبق تعریف می‌نویسیم، $$(x_1+i{y}_1,x_2+i{y}_2)=(x_1,x_2)+(y_1,y_2)-i((x_1,y_2)-(y_1,x_2)).$$ توجه کنید که اگر $x$ و $y$ بردارهای متعامد در $𝒱$ باشند، آنگاه $$\Vert x+iy{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2.$$ 

تناظر از $A$ به $A^{+}$ تمام ویژگی‌های جبری تبدیل‌ها را حفظ می‌کند. بنابراین اگر $B=\alpha A$ (با $\alpha$ حقیقی)، آنگاه $B^{+}=\alpha A^{+}$ ؛ اگر $C=A+B$ ، آنگاه $C^{+}=A^{+}+B^{+}$ ؛ و اگر $C=AB$ ، آنگاه $C^{+}=A^{+}{B}^{+}$ . اگر، علاوه بر این، $𝒱$ یک فضای ضرب داخلی باشد، و اگر $B=A^{\ast }$ ، آنگاه $B^{+}=(A^{+}{)}^{\ast }$ . (اثبات: $(A^{+}(x_1+i{y}_1),(x_2+i{y}_2))$ و $(x_1+i{y}_1,B^{+}(x_2+i{y}_2))$ را محاسبه کنید.)

اگر $A$ یک تبدیل خطی روی $𝒱$ باشد و اگر $A^{+}$ دارای یک بردار ویژه $x+iy$ ، با مقدار ویژه $\alpha +i\beta$ باشد (که در آن $x$ و $y$ در $𝒱$ و $\alpha$ و $\beta$ حقیقی هستند)، به طوری که آنگاه زیرفضای $𝒱$ که توسط $x$ و $y$ تولید شده است، تحت $A$ ناوردا است. (از آنجا که هر تبدیل خطی روی یک فضای برداری مختلط دارای یک بردار ویژه است، نتیجه می‌گیریم که هر تبدیل خطی روی یک فضای برداری حقیقی، یک زیرفضا با بُعد برابر با $1$ یا $2$ را ناوردای باقی می‌گذارد.) اگر، به طور خاص، $A^{+}$ اتفاقاً دارای یک مقدار ویژه حقیقی باشد (یعنی، اگر $\beta =0$ )، آنگاه $A$ دارای همان مقدار ویژه است (زیرا $Ax=\alpha x$ ، $Ay=\alpha y$ ، و هر دو $x$ و $y$ نمی‌توانند هم‌زمان صفر شوند).

ما پیش‌تر دیدیم که هر پایه (حقیقی) در $𝒱$ هم‌زمان یک پایه (مختلط) در ${𝒱}^{+}$ است. نتیجه می‌شود که ماتریس یک تبدیل خطی $A$ روی $𝒱$ ، نسبت به یک پایه $𝒳$ در $𝒱$ ، همان ماتریس $A^{+}$ روی ${𝒱}^{+}$ ، نسبت به پایه $𝒳$ در ${𝒱}^{+}$ است. این نکته در ریشه کل نظریه مختلط‌سازی قرار دارد؛ دیدگاه ساده و اولیه در این مورد این است که ماتریس‌های حقیقی یک حالت خاص از ماتریس‌های مختلط را تشکیل می‌دهند.

تمرین‌ها