هم‌ریختی‌های طبیعی

تمرین ۱. اگر $ℳ$ و $𝒩$ زیرفضاهایی از یک فضای ضرب داخلی متناهی‌بعد باشند، آنگاه $$(ℳ+𝒩{)}^{⟂}={ℳ}^{⟂}\cap {𝒩}^{⟂}$$ و $$(ℳ\cap 𝒩{)}^{⟂}={ℳ}^{⟂}+{𝒩}^{⟂}.$$ 

تمرین ۲. اگر به ازای هر $x=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$ در ${ℂ}^3$ باشد، برداری مانند $y$ در ${ℂ}^3$ بیابید به طوری که .

تمرین ۳. اگر $y$ برداری در یک فضای ضرب داخلی باشد، اگر $A$ یک تبدیل خطی روی آن فضا باشد، و اگر $f(x)=\overline{(y,Ax)}$ به ازای هر بردار $x$ باشد، آنگاه $f$ یک تابعک خطی است؛ برداری مانند $y^{\ast }$ بیابید به طوری که $f(x)=(x,y^{\ast })$ به ازای هر $x$ .

تمرین ۴. 

1. اگر $A$ یک تبدیل خطی روی یک فضای ضرب داخلی متناهی‌بعد باشد، آنگاه $\mathrm{tr}(A^{\ast }A)\ge 0$ ؛ یک شرط لازم و کافی برای اینکه $\mathrm{tr}(A^{\ast }A)=0$ این است که $A=0$ . (راهنمایی: به ماتریس‌ها نگاه کنید.) این ویژگی اثرها اغلب می‌تواند برای به دست آوردن حقایق جبری دست‌نیافتنی در غیر این صورت، درباره حاصل‌ضرب تبدیل‌ها و الحاقی‌هایشان استفاده شود.
2. با استفاده از استدلال اثر، و همچنین به طور مستقیم، اثبات کنید که اگر $A_1,\dots ,A_k$ تبدیل‌های خطی روی یک فضای ضرب داخلی متناهی‌بعد باشند و اگر $\sum _{j=1}^k{A}_j^{\ast }{A}_j=0$ ، آنگاه $A_1=\cdots =A_k=0$ .
3. اگر $A^{\ast }A=B^{\ast }B-B{B}^{\ast }$ ، آنگاه $A=0$ .
4. اگر $A^{\ast }$ با $A$ جابه‌جا شود و اگر $A$ با $B$ جابه‌جا شود، آنگاه $A^{\ast }$ با B جابه‌جا می‌شود. (راهنمایی: اگر $C=A^{\ast }B-B{A}^{\ast }$ و $D=AB-BA$ ، آنگاه $$\mathrm{tr}(C^{\ast }C)=\mathrm{tr}(D^{\ast }D)+\mathrm{tr}[(A^{\ast }A-A{A}^{\ast })(B^{\ast }B-B{B}^{\ast })].)$$ 

تمرین ۵. 

1. فرض کنید $\mathscr{H}$ یک فضای یکانی است، و مجموعه تمام زوج‌های مرتب $⟨x,y⟩$ را با $x$ و $y$ در $\mathscr{H}$ تشکیل دهید (یعنی مجموع مستقیم $\mathscr{H}$ با خودش). اثبات کنید که معادله $$(⟨x_1,y_1⟩,⟨x_2,y_2⟩)=(x_1,x_2)+(y_1,y_2)$$ یک ضرب داخلی در مجموع مستقیم $\mathscr{H}\oplus \mathscr{H}$ تعریف می‌کند.
2. اگر $U$ با $U⟨x,y⟩=⟨y,-x⟩$ تعریف شود، آنگاه $U^{\ast }U=1$ .
3. نمودار یک تبدیل خطی $A$ روی $\mathscr{H}$ مجموعه تمام آن عناصر $⟨x,y⟩$ از $\mathscr{H}\oplus \mathscr{H}$ است که برای آن‌ها $y=Ax$ . اثبات کنید که نمودار هر تبدیل خطی روی $\mathscr{H}$ یک زیرفضا از $\mathscr{H}\oplus \mathscr{H}$ است.
4. اگر $A$ یک تبدیل خطی روی $\mathscr{H}$ با نمودار $𝒢$ باشد، آنگاه نمودار $A^{\ast }$ متمم متعامد (در $\mathscr{H}\oplus \mathscr{H}$ ) تصویر تحت $U$ (به (ب) مراجعه کنید) از نمودار $A$ است.

تمرین ۶. 

1. اگر به ازای هر تبدیل خطی $A$ روی یک فضای ضرب داخلی متناهی‌بعد $N(A)=\sqrt{\mathrm{tr}(A^{\ast }A)}$ باشد، آنگاه $N$ یک نرم است (روی فضای تمام تبدیل‌های خطی).
2. آیا نرم $N$ توسط یک ضرب داخلی القا می‌شود؟

تمرین ۷. 

1. دو تبدیل خطی $A$ و $B$ روی یک فضای ضرب داخلی هم‌نهشت نامیده می‌شوند اگر یک تبدیل خطی معکوس‌پذیر $P$ وجود داشته باشد به طوری که $B=P^{\ast }AP$ . (این مفهوم اغلب برای "فرم‌های درجه دوم" مرتبط با تبدیل‌های خطی تعریف می‌شود و نه برای خود تبدیل‌های خطی؛ این تا حد زیادی سلیقه‌ای است. توجه کنید که اگر $\alpha (x)=(Ax,x)$ و $\beta (x)=(Bx,x)$ ، آنگاه $B=P^{\ast }AP$ ایجاب می‌کند که $\beta (x)=\alpha (Px)$ .) اثبات کنید که هم‌نهشتی یک رابطه هم‌ارزی است.
2. اگر $A$ و $B$ هم‌نهشت باشند، آنگاه $A^{\ast }$ و $B^{\ast }$ نیز هم‌نهشت هستند.
3. آیا تبدیل خطی $A$ وجود دارد به طوری که $A$ با یک اسکالر $\alpha$ هم‌نهشت باشد، اما $A\ne \alpha$ ؟
4. آیا تبدیل‌های خطی $A$ و $B$ وجود دارند به طوری که $A$ و $B$ هم‌نهشت باشند، اما $A^2$ و $B^2$ هم‌نهشت نباشند؟
5. اگر دو تبدیل معکوس‌پذیر هم‌نهشت باشند، آنگاه معکوس‌های آن‌ها نیز هم‌نهشت هستند.