مجموعه‌های متعامد یکه کامل

یک روش سازنده برای اجتناب از این استقرای خام وجود دارد، و از آنجا که این روش روشنایی بیشتری بر مفاهیم درگیر می‌افکند، آن را در اینجا به عنوان یک اثبات جایگزین برای قضیه بازتولید می‌کنیم.

فرض کنید $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ یک پایه دلخواه در $𝒱$ باشد. ما یک مجموعه متعامد یکه کامل $𝒴=\{y_1,\dots ,y_n\}$ را با این ویژگی می‌سازیم که هر $y_j$ یک ترکیب خطی از $x_1,\dots ,x_j$ باشد. برای شروع ساخت، مشاهده می‌کنیم که $x_1\ne 0$ (زیرا $𝒳$ از نظر خطی مستقل است) و می‌نویسیم $y_1=x_1/\Vert x_1\Vert$ . اکنون فرض کنید $y_1,\dots ,y_r$ چنان یافت شده‌اند که یک مجموعه متعامد یکه تشکیل می‌دهند و به طوری که هر $y_j$ ( $j=1,\dots ,r$ ) یک ترکیب خطی از $x_1,\dots ,x_j$ است. می‌نویسیم $$z=x_{r+1}-({\alpha }_1{y}_1+\cdots +{\alpha }_r{y}_r),$$ که در آن مقادیر اسکالرهای ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ هنوز تعیین نشده‌اند. از آنجا که $$(z,y_j)=(x_{r+1}-\sum _i{\alpha }_i{y}_i,y_j)=(x_{r+1},y_j)-{\alpha }_j$$ برای $j=1,\dots ,r$ ، نتیجه می‌شود که اگر ${\alpha }_j=(x_{r+1},y_j)$ را انتخاب کنیم، آنگاه $(z,y_j)=0$ برای $j=1,\dots ,r$ خواهد بود. از آنجا که، علاوه بر این، $z$ یک ترکیب خطی از $x_{r+1}$ و $y_1,\dots ,y_r$ است، همچنین یک ترکیب خطی از $x_{r+1}$ و $x_1,\dots ,x_r$ نیز می‌باشد. در نهایت $z$ متفاوت از صفر است، زیرا $x_1,\dots ,x_r,x_{r+1}$ از نظر خطی مستقل هستند و ضریب $x_{r+1}$ در عبارت $z$ صفر نیست. می‌نویسیم $y_{r+1}=z/\Vert z\Vert$ ؛ واضح است که $\{y_1,\dots ,y_r,y_{r+1}\}$ دوباره یک مجموعه متعامد یکه با تمام ویژگی‌های مطلوب است، و گام استقرا انجام می‌شود. ما از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که نه تنها هر $y_j$ یک ترکیب خطی از $x$ ها با اندیس‌های بین $1$ و $j$ است، بلکه برعکس، هر $x_j$ نیز یک ترکیب خطی از $y$ ها با اندیس‌های بین $1$ و $j$ می‌باشد. روش تبدیل یک پایه خطی به یک مجموعه متعامد یکه کامل که به تازگی توصیف کردیم، به عنوان فرآیند متعامدسازی گرام-اشمیت شناخته می‌شود.

در فضاهای ضرب داخلی، کار کردن منحصراً با پایه‌هایی که مجموعه‌های متعامد یکه کامل نیز هستند را راحت و طبیعی خواهیم یافت. ما چنین پایه‌ای را پایه متعامد یکه یا دستگاه مختصات متعامد یکه می‌نامیم؛ در آینده، هرگاه درباره پایه‌هایی بحث کنیم که لزوماً متعامد یکه نیستند، با نامیدن آن‌ها به عنوان پایه‌های خطی، بر این واقعیت تأکید خواهیم کرد.

تمرین‌ها