قطبش

اثبات. ضرورت شرط بدیهی است؛ کفایت از قرار دادن $y$ برابر با $Ax$ حاصل می‌شود. ◻

اثبات. ضرورت بدیهی است. اثبات کفایت با التحقق از اتحاد آغاز می‌شود.

(جمله اول سمت راست را بسط دهید.) از آنجا که $A$ خودالحاقی است، سمت چپ این معادله برابر با $2\mathrm{Re}(Ax,y)$ است. شرط فرض‌شده دلالت بر آن دارد که سمت راست صفر می‌شود، و در نتیجه $\mathrm{Re}(Ax,y)=0$ خواهد بود. در این نقطه لازم است اثبات را به دو حالت تقسیم کنیم. اگر فضای ضرب داخلی حقیقی باشد (یعنی $A$ متقارن باشد)، آنگاه $(Ax,y)$ حقیقی است، و بنابراین $(Ax,y)=0$ است. اگر فضای ضرب داخلی مختلط باشد (یعنی $A$ هرمیتی باشد)، آنگاه یک عدد مختلط $\theta$ می‌یابیم به طوری که $|\theta |=1$ و $\theta (Ax,y)=|(Ax,y)|$ باشد. (در اینجا $x$ و $y$ به طور موقت ثابت در نظر گرفته شده‌اند.) نتیجه‌ای که از پیش داریم، با اعمال آن بر $\theta x$ به جای $x$ ، حاصل می‌دهد بنابراین در هر دو حالت، $(Ax,y)=0$ برای همه $x$ ها و $y$ ها برقرار است، و نتیجه مطلوب از قضیه ۱ حاصل می‌شود. ◻

اثبات. مانند قبل، ضرورت بدیهی است. برای اثبات کفایت از اتحاد به اصطلاح قطبش استفاده می‌کنیم:

(درست مانند (۱)، اثبات شامل بسط جمله اول سمت راست است.) اگر $(Ax,x)$ همواره صفر باشد، آنگاه با انتخاب ابتدا $\alpha =\beta =1$ ، و سپس $\alpha =i$ ( $=\sqrt{-1}$ )، $\beta =1$ به دست می‌آوریم با تقسیم دومین معادله از این دو معادله بر $i$ و سپس تشکیل میانگین حسابی آن‌ها، می‌بینیم که $(Ax,y)=0$ برای همه $x$ ها و $y$ ها برقرار است، به طوری که، بر اساس قضیه ۱، $A=0$ است. ◻

اثبات. اگر $A=A^{\ast }$ باشد، آنگاه $$(Ax,x)=(x,A^{\ast }x)=(x,Ax)=\overline{(Ax,x)},$$ به طوری که $(Ax,x)$ برابر با مزدوج خودش است و بنابراین حقیقی است. اگر، برعکس، $(Ax,x)$ همواره حقیقی باشد، آنگاه $$(Ax,x)=\overline{(Ax,x)}=(x,A^{\ast }x)=(A^{\ast }x,x),$$ به طوری که $([A-A^{\ast }]x,x)=0$ برای همه $x$ ها برقرار است، و بر اساس قضیه ۳، $A=A^{\ast }$ است. ◻