قضیه فرافکنی

از آنجا که یک زیرفضا از یک فضای ضرب داخلی ممکن است خود به عنوان یک فضای ضرب داخلی در نظر گرفته شود، قضیه بخش پیشین قابل اعمال است. نتیجه زیر، که قضیه افکنش نامیده می‌شود، مهم‌ترین کاربرد آن است.

قضیه ۱. اگر $ℳ$ هر زیرفضایی از یک فضای ضرب داخلی با بعد متناهی $𝒱$ باشد، آنگاه $𝒱$ مجموع مستقیم $ℳ$ و $ℳ^{⟂}$ است، و $ℳ^{⟂⟂} = ℳ$ .

اثبات. فرض کنید $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{m}}$ یک مجموعه یکامتعامد باشد که در $ℳ$ کامل است، و فرض کنید $z$ هر برداری در $𝒱$ باشد. می‌نویسیم $x = \sum_{i} α_{i} x_{i}$ ، که در آن $α_{i} = (z, x_{i})$ ؛ از بخش: کامل بودن ، قضیه ۱، نتیجه می‌شود که $y = z - x$ در $ℳ^{⟂}$ است، به طوری که $z$ مجموع دو بردار است، $z = x + y$ ، با $x$ در $ℳ$ و $y$ در $ℳ^{⟂}$ . اینکه $ℳ$ و $ℳ^{⟂}$ مجزا هستند واضح است؛ اگر $x$ به هر دو تعلق داشت، آنگاه باید داشته باشیم $‖ x ‖^{2} = (x, x) = 0$ . از قضیه بخش: مجموع‌های مستقیم نتیجه می‌شود که $𝒱 = ℳ \oplus ℳ^{⟂}$ .

مشاهده می‌کنیم که در تجزیه $z = x + y$ ، داریم $(z, x) = (x + y, x) = ‖ x ‖^{2} + (y, x) = ‖ x ‖^{2},$ و به طور مشابه، $(z, y) = ‖ y ‖^{2} .$ بنابراین، اگر $z$ در $ℳ^{⟂⟂}$ باشد، به طوری که $(z, y) = 0$ ، آنگاه $‖ y ‖^{2} = 0$ ، پس $z$ ( $= x$ ) در $ℳ$ قرار دارد؛ به عبارت دیگر، $ℳ^{⟂⟂}$ در $ℳ$ قرار دارد. از آنجا که از قبل می‌دانیم $ℳ$ در $ℳ^{⟂⟂}$ قرار دارد، اثبات قضیه کامل می‌شود. ◻

این نوع تجزیه مجموع مستقیم یک فضای ضرب داخلی (از طریق یک زیرفضا و مکمل متعامد آن) از نظر هندسی بسیار جالب توجه است. ما افکنش‌های مرتبط را کمی بعد بررسی خواهیم کرد؛ آن‌ها یک زیررده جالب و مهم از رده تمام افکنش‌ها به شمار می‌روند. در حال حاضر تنها به ارتباط با قضیه فیثاغورس اشاره می‌کنیم؛ از آنجا که $(z, x) = ‖ x ‖^{2}$ و $(z, y) = ‖ y ‖^{2}$ ، داریم $‖ z ‖^{2} = (z, z) = (z, x) + (z, y) = ‖ x ‖^{2} + ‖ y ‖^{2} .$ به عبارت دیگر، مربع وتر برابر با مجموع مربعات اضلاع است. به طور کلی‌تر، اگر $ℳ_{1}, \dots, ℳ_{k}$ زیرفضاهای دو به دو متعامد در یک فضای ضرب داخلی $𝒱$ باشند، و اگر $x = x_{1} + \dots + x_{k}$ ، با $x_{j}$ در $ℳ_{j}$ برای $j = 1, \dots, k$ ، آنگاه $‖ x ‖^{2} = ‖ x_{1} ‖^{2} + \dots + ‖ x_{k} ‖^{2} .$