$} \\end{align} (برای تبدیل سمت چپ (۲ \$'\$ ) به سمت راست، از (۱) استفاده کنید، با (۲) بسط دهید و دوباره از (۱) استفاده کنید.) این واقعیت، همراه با تعریف ضرب داخلی، اصطلاحاتی را که گاهی برای توصیف ویژگی‌های (۱)، (۲)، (۳) (و نتیجه آن‌ها (۲ \$'\$ )) به کار می‌روند، توضیح می‌دهد. بر اساس آن اصطلاحات \$(x, y)\$ یک فرم متقارن هرمیتی (۱)، دوخطی مزدوج ((۲) و (۲ \$'\$ )) و معین مثبت (۳) است. در یک فضای اقلیدسی می‌توان از مزدوج گرفتن در (۲ \$'\$ ) همراه با مزدوج گرفتن در (۱) صرف‌نظر کرد؛ در آن حالت \$(x, y)\$ یک فرم متقارن، دوخطی و معین مثبت نامیده می‌شود. مشاهده می‌کنیم که در هر دو حالت، شرایط روی \$(x, y)\$ برای \$\\|x\\|\$ ویژگی همگنی \\[\\|\\alpha x\\|=|\\alpha| \\cdot \\|x\\|.\\] را ایجاب می‌کند. (اثبات: \$\\|\\alpha x\\|^{2}=(\\alpha x, \\alpha x)=\\alpha \\bar{\\alpha}(x, x)\$ .)

","created_at":"2026-06-14T20:07:03.795Z","is_published":true,"meta_description":"تعریف و ویژگی‌های فضاهای ضرب داخلی در جبر خطی را بیاموزید. این مطلب بخشی از یک کتاب درسی آنلاین رایگان برای درک عمیق مفاهیم ریاضی و جبر خطی است.","meta_title":"آموزش فضاهای ضرب داخلی در جبر خطی","render_error":null,"render_status":"complete","renderer_version":"mathjax-4-mml-svg-hybrid-v8","slug":"فضاهای-ضربداخلی","source_model":"Header1","title":"فضاهای ضرب داخلی","updated_at":"2026-06-14T20:07:03.794Z","content_rendered":"

تعریف ۱. یک ضرب داخلی در یک فضای برداری (حقیقی یا مختلط)، یک تابع با مقادیر عددی (به ترتیب حقیقی یا مختلط) از زوج مرتب بردارهای $\n x \n$ و $\n y \n$ است، به طوری که $اگر و تنها اگر$ یک فضای ضرب داخلی یک فضای برداری همراه با یک ضرب داخلی است.

مشاهده می‌کنیم که در مورد یک فضای برداری حقیقی، می‌توان از مزدوج گرفتن در (۱) صرف‌نظر کرد. با این حال، در هر حالتی، چه حقیقی و چه مختلط، (۱) ایجاب می‌کند که $\n (\n x \n, \n x \n) \n$ همواره حقیقی است، به طوری که نامساوی در (۳) معنادار می‌شود. در یک فضای ضرب داخلی از نمادگذاری $\n \sqrt{\n (\n x \n, \n x \n) \n} \n = \n ‖ \n x \n ‖ \n; \n$ استفاده خواهیم کرد؛ عدد $\n ‖ \n x \n ‖ \n$ را هنجار یا طول بردار $\n x \n$ می‌نامند. یک فضای ضرب داخلی حقیقی گاهی اوقات فضای اقلیدسی نامیده می‌شود؛ همتای مختلط آن فضای یکانی نامیده می‌شود.

به عنوان مثال‌هایی از فضاهای یکانی می‌توانیم $\n \n^{\n ℂ \n \n \n n \n \n} \n$ و $\n \n 𝒫 \n \n$ را در نظر بگیریم؛ در حالت اول برای $\n x \n = \n (\n \n_{ξ \n \n 1 \n \n} \n, \n \dots \n, \n \n_{ξ \n \n n \n \n} \n) \n$ و $\n y \n = \n (\n \n_{η \n \n 1 \n \n} \n, \n \dots \n, \n \n_{η \n \n n \n \n} \n) \n$ ، $\n (\n x \n, \n y \n) \n = \n \n_{\sum}^{\n} \n \n_{ξ \n \n i \n \n} \n \n_{\n \overset{η}{\n} \n \n \n i \n \n} \n, \n$ می‌نویسیم، و در $\n \n 𝒫 \n \n$ ، $\n (\n x \n, \n y \n) \n = \n \n_{\int}^{\n} \n x \n (\n t \n) \n \overset{\n y \n (\n t \n) \n}{\n} \n \n d \n t \n . \n$ می‌نویسیم. تغییراتی که این مثال‌ها را به فضاهای اقلیدسی (یعنی فضاهای ضرب داخلی حقیقی) تبدیل می‌کنند، بدیهی هستند.

در یک فضای یکانی داریم

فضاهای ضرب داخلی

تعریف ۱. یک ضرب داخلی در یک فضای برداری (حقیقی یا مختلط)، یک تابع با مقادیر عددی (به ترتیب حقیقی یا مختلط) از زوج مرتب بردارهای $x$ و $y$ است، به طوری که $اگر و تنها اگر$ یک فضای ضرب داخلی یک فضای برداری همراه با یک ضرب داخلی است.

مشاهده می‌کنیم که در مورد یک فضای برداری حقیقی، می‌توان از مزدوج گرفتن در (۱) صرف‌نظر کرد. با این حال، در هر حالتی، چه حقیقی و چه مختلط، (۱) ایجاب می‌کند که $(x, x)$ همواره حقیقی است، به طوری که نامساوی در (۳) معنادار می‌شود. در یک فضای ضرب داخلی از نمادگذاری $\sqrt{(x, x)} = ‖ x ‖;$ استفاده خواهیم کرد؛ عدد $‖ x ‖$ را هنجار یا طول بردار $x$ می‌نامند. یک فضای ضرب داخلی حقیقی گاهی اوقات فضای اقلیدسی نامیده می‌شود؛ همتای مختلط آن فضای یکانی نامیده می‌شود.

به عنوان مثال‌هایی از فضاهای یکانی می‌توانیم $ℂ^{n}$ و $𝒫$ را در نظر بگیریم؛ در حالت اول برای $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ و $y = (η_{1}, \dots, η_{n})$ ، $(x, y) = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i} {\bar{η}}_{i},$ می‌نویسیم، و در $𝒫$ ، $(x, y) = \int_{0}^{1} x (t) \overset{―}{y (t)} d t .$ می‌نویسیم. تغییراتی که این مثال‌ها را به فضاهای اقلیدسی (یعنی فضاهای ضرب داخلی حقیقی) تبدیل می‌کنند، بدیهی هستند.

در یک فضای یکانی داریم (برای تبدیل سمت چپ (۲ ) به سمت راست، از (۱) استفاده کنید، با (۲) بسط دهید و دوباره از (۱) استفاده کنید.) این واقعیت، همراه با تعریف ضرب داخلی، اصطلاحاتی را که گاهی برای توصیف ویژگی‌های (۱)، (۲)، (۳) (و نتیجه آن‌ها (۲ )) به کار می‌روند، توضیح می‌دهد. بر اساس آن اصطلاحات $(x, y)$ یک فرم متقارن هرمیتی (۱)، دوخطی مزدوج ((۲) و (۲ )) و معین مثبت (۳) است. در یک فضای اقلیدسی می‌توان از مزدوج گرفتن در (۲ ) همراه با مزدوج گرفتن در (۱) صرف‌نظر کرد؛ در آن حالت $(x, y)$ یک فرم متقارن، دوخطی و معین مثبت نامیده می‌شود. مشاهده می‌کنیم که در هر دو حالت، شرایط روی $(x, y)$ برای $‖ x ‖$ ویژگی همگنی $‖ α x ‖ = | α | \cdot ‖ x ‖ .$ را ایجاب می‌کند. (اثبات: $‖ α x ‖^{2} = (α x, α x) = α \bar{α} (x, x)$ .)

Note: This page requires JavaScript for full functionality.

$} \\end{align}\">

فضاهای ضرب داخلی

Note: This page requires JavaScript for full functionality.

$} \\end{align}\" transform=\"translate(2338.1,0) translate(-2338.1,0)\">

فضاهای ضرب داخلی

Note: This page requires JavaScript for full functionality.

$}\" transform=\"translate(16502.6,0)\">

فضاهای ضرب داخلی

Note: This page requires JavaScript for full functionality.

$\" transform=\"translate(0,785.9)\">

فضاهای ضرب داخلی

Note: This page requires JavaScript for full functionality.

$}\" transform=\"translate(357,0)\"> (برای تبدیل سمت چپ (۲

) به سمت راست، از (۱) استفاده کنید، با (۲) بسط دهید و دوباره از (۱) استفاده کنید.) این واقعیت، همراه با تعریف ضرب داخلی، اصطلاحاتی را که گاهی برای توصیف ویژگی‌های (۱)، (۲)، (۳) (و نتیجه آن‌ها (۲

)) به کار می‌روند، توضیح می‌دهد. بر اساس آن اصطلاحات

\n (\n x \n, \n y \n) \n

یک فرم متقارن هرمیتی (۱)، دوخطی مزدوج ((۲) و (۲

)) و معین مثبت (۳) است. در یک فضای اقلیدسی می‌توان از مزدوج گرفتن در (۲

) همراه با مزدوج گرفتن در (۱) صرف‌نظر کرد؛ در آن حالت

\n (\n x \n, \n y \n) \n

یک فرم متقارن، دوخطی و معین مثبت نامیده می‌شود. مشاهده می‌کنیم که در هر دو حالت، شرایط روی

\n (\n x \n, \n y \n) \n

برای

\n ‖ \n x \n ‖ \n

ویژگی همگنی

\n ‖ \n α \n x \n ‖ \n = \n | \n α \n | \n \cdot \n ‖ \n x \n ‖ \n . \n

را ایجاب می‌کند. (اثبات:

\n ‖ \n α \n x \n \n^{‖ \n \n 2 \n \n} \n = \n (\n α \n x \n, \n α \n x \n) \n = \n α \n \n \overset{α}{\n} \n \n (\n x \n, \n x \n) \n

","render_font_cache":"","rendered_at":"2026-06-14T20:07:03.874Z","book_name":"فضاهای برداری با بعد متناهی","book_slug":"finite-dimensional-vector-spaces","translated_book_slug":"فضاهای‌برداری-با-بعد‌متناهی","chapter_slug":"orthogonality","index":[]},"alternates":[{"lang":"fa","slug":"فضاهای-ضربداخلی","bookSlug":"فضاهای‌برداری-با-بعد‌متناهی","chapterSlug":"تعامد"},{"lang":"fr","bookSlug":"00_espaces-vectoriels-de-dimension-finie","chapterSlug":"orthogonalite"},{"lang":"zh","slug":"内积空间","bookSlug":"有限维向量空间","chapterSlug":"正交性"},{"lang":"en","slug":"inner-product-spaces","bookSlug":"finite-dimensional-vector-spaces","chapterSlug":"orthogonality"}]}};

فضاهای ضرب داخلی

Note: This page requires JavaScript for full functionality.