ضرب‌های داخلی مختلط

چه اتفاقی می‌افتد اگر بخواهیم ${ℂ}^2$ را به جای ${ℝ}^2$ در نظر بگیریم؟ تعمیم آن به نظر کاملاً در دسترس می‌رسد؛ زیرا برای $x=({\xi }_1,{\xi }_2)$ و $y=({\eta }_1,{\eta }_2)$ (که در آن اکنون $\xi$ ها و $\eta$ ها می‌توانند اعداد مختلط باشند)، می‌نویسیم $(x,y)={\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2$ ، و امیدواریم که عبارات $\Vert x\Vert =(x,x)$ و $\Vert x-y\Vert$ بتوانند به عنوان معیارهای معقولی برای فاصله استفاده شوند. با این حال، پدیده عجیب زیر را مشاهده کنید (که در آن $i=\sqrt{-1}$ ): این بدان معناست که اگر $\Vert x\Vert$ مثبت باشد، یعنی اگر $x$ در فاصله مثبتی از مبدأ باشد، آنگاه $ix$ این‌گونه نیست؛ در واقع فاصله از $0$ تا $ix$ موهومی است. این بسیار ناخوشایند است؛ قطعاً منطقی است که انتظار داشته باشیم هر چیزی که قرار است در این حالت نقش $(x,y)$ را ایفا کند، باید این ویژگی را داشته باشد که به ازای $x=y$ هرگز منفی نشود. یک راه‌حل صوری در دسترس است؛ می‌توانیم سعی کنیم بنویسیم $$(x,y)={\xi }_1{\overline{\eta }}_1+{\xi }_2{\overline{\eta }}_2$$ (که در آن نوار نشان‌دهنده مزدوج مختلط است). در این تعریف، عبارت $(x,y)$ بخش زیادی از زیبایی پیشین خود را از دست می‌دهد؛ دیگر کاملاً نسبت به $x$ و $y$ متقارن نیست و دیگر کاملاً نسبت به هر یک از متغیرهایش خطی نیست. اما، و این همان چیزی است که ما را بر آن داشت تا تعریف جدید خود را ارائه دهیم، $$(x,x)={\xi }_1{\overline{\xi }}_1+{\xi }_2{\overline{\xi }}_2=|{\xi }_1{|}^2+|{\xi }_2{|}^2$$ قطعاً هرگز منفی نیست. پیشاپیش جای تردید است که آیا می‌توان نظریه‌ای مفید و ظریف را بر اساس تابعی بنا کرد که فاقد بسیاری از ویژگی‌هایی است که در وهله اول توجه ما را به خود جلب کرده بود؛ این عدم ظرافت ظاهری در ادامه با موفقیت آن توجیه خواهد شد. یک نشانه امیدوارکننده این است. فضای ${ℂ}^1$ (یعنی مجموعه تمام اعداد مختلط) را در نظر بگیرید. غیرممکن است که تصویری از هر پیکربندی در این فضا رسم کنیم و سپس بتوانیم آن را از پیکربندی در ${ℝ}^2$ تشخیص دهیم، اما از نظر مفهومی واضح است که فضای متفاوتی است. مشابه $(x,y)$ در این فضا، برای $x=({\xi }_1)$ و $y=({\eta }_1)$ ، با $(x,y)={\xi }_1{\overline{\eta }}_1$ داده می‌شود، و این عبارت دارای یک تفسیر هندسی ساده است. اگر $x$ و $y$ را با پاره‌خط‌های مستقیم به مبدأ وصل کنیم، $(x,y)$ مطمئناً کسینوس زاویه بین دو پاره‌خط نخواهد بود؛ بلکه مشخص می‌شود که برای $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$ ، قسمت حقیقی آن دقیقاً همان کسینوس است.

مزدوج‌های مختلطی که در اینجا مجبور به معرفی آن‌ها شدیم، بعداً دوباره بازخواهند گشت و ما را آزار خواهند داد؛ فعلاً این مقدمه اکتشافی را رها کرده و پس از تنها یک توضیح دیگر در مورد نمادگذاری، به کار صوری می‌پردازیم. شباهت نمادهای $(,)$ و $[,]$ ، که یکی در اینجا برای ضرب داخلی و دیگری پیش‌تر برای تابعک‌های خطی استفاده شده است، تصادفی نیست. بعداً نشان خواهیم داد که در واقع، تنها وجود مزدوج مختلط در $(,)$ است که استفاده از نمادی متفاوت از $[,]$ را برای آن ضروری می‌سازد. با این حال، در حال حاضر، نمی‌توانیم ریسک اشتباه گرفتن این دو را بپذیریم.