تمامیت

اثبات. برای حکم اول: برای حکم دوم: ◻

اثبات. ما استلزام‌های زیر را برقرار می‌کنیم

بنابراین ابتدا (۱) را فرض کرده و (۲) را اثبات می‌کنیم، سپس (۲) را فرض کرده تا (۳) را اثبات کنیم، و الی آخر تا اینکه در نهایت با فرض (۶)، (۱) را اثبات کنیم.

(۱) $⟹$ (۲). اگر $(x,x_i)=0$ برای همه $i$ ها و $x\ne 0$ ، آنگاه می‌توانیم $x/\Vert x\Vert$ را به $𝒳$ الحاق کنیم و بدین ترتیب یک مجموعه متعامد یکه بزرگتر از $𝒳$ به دست آوریم.

(۲) $⟹$ (۳). اگر یک $x$ وجود داشته باشد که ترکیب خطی از $x_i$ ها نباشد، آنگاه، بر اساس بخش دوم قضیه ۱، متفاوت از $0$ است و بر هر $x_i$ متعامد است.

(۳) $⟹$ (۴). اگر هر $x$ به فرم $x=\sum _j{\alpha }_j{x}_j$ باشد، آنگاه $$(x,x_i)=\sum _j{\alpha }_j(x_j,x_i)={\alpha }_i.$$ 

(۴) $⟹$ (۵). اگر $x=\sum _i{\alpha }_i{x}_i$ و $y=\sum _j{\beta }_j{x}_j$ ، با ${\alpha }_i=(x,x_i)$ و ${\beta }_j=(y,x_j)$ ، آنگاه

(۵) $⟹$ (۶). قرار می‌دهیم $x=y$ .

(۶) $⟹$ (۱). اگر $𝒳$ در یک مجموعه متعامد بزرگتر قرار داشت، مثلاً اگر $x_0$ بر هر $x_i$ متعامد بود، آنگاه $$\Vert x_0{\Vert }^2=\sum _i|(x_0,x_i){|}^2=0,$$ به طوری که $x_0=0$ . ◻