ترکیب‌های تصویرهای عمودی

قضیه جمع برای تصویرهای عمودی اکنون آسان است.

قضیه ۱. اگر $E_{1}, \dots, E_{n}$ تصویرهای (عمودی) باشند، آنگاه شرط لازم و کافی برای اینکه $E = E_{1} + \dots + E_{n}$ یک تصویر (عمودی) باشد این است که $E_{i} E_{j} = 0$ هرگاه $i \neq j$ (یعنی اینکه $E_{i}$ ها دو به دو متعامد باشند).

اثبات. اثبات کافی بودن شرط بدیهی است؛ ما فقط ضروری بودن آن را به صراحت اثبات می‌کنیم، بنابراین اکنون فرض می‌کنیم که $E$ یک تصویر عمودی است. اگر $x$ متعلق به برد برخی $E_{i}$ باشد، آنگاه بنابراین باید در تمام طول مسیر تساوی داشته باشیم. از آنجا که، به ویژه، باید داشته باشیم $\sum_{j} ‖ E_{j} x ‖^{2} = ‖ E_{i} x ‖^{2},$ نتیجه می‌شود که $E_{j} x = 0$ هرگاه $j \neq i$ . به عبارت دیگر، هر $x$ در برد $E_{i}$ در فضای پوچی (و در نتیجه، عمود بر برد) هر $E_{j}$ با $j \neq i$ قرار دارد؛ با استفاده از بخش: تصویرهای عمودی ، قضیه ۳، به نتیجه مطلوب می‌رسیم. ◻

بحث خود در مورد تصویرها را با مطالعه‌ای مختصر از روابط ترتیبی به پایان می‌بریم. وسوسه‌انگیز است که بنویسیم $E \leq F$ ، برای دو تصویر عمودی $E = P_{ℳ}$ و $F = P_{𝒩}$ ، هرگاه $ℳ \subset 𝒩$ . با این حال، پیش‌تر، علامت $\leq$ را، هنگامی که در عبارتی شامل تبدیلات خطی $E$ و $F$ (مانند $E \leq F$ ) استفاده می‌شد، به این معنا تفسیر کردیم که $F - E$ یک تبدیل مثبت است. دلایل احتمالی دیگری نیز برای در نظر گرفتن $E$ کوچکتر از $F$ وجود دارد؛ ممکن است داشته باشیم $‖ E x ‖ \leq ‖ F x ‖$ برای همه $x$ ها، یا $F E = E F = E$ (نگاه کنید به بخش: ترکیبات تصویرها ، (ii)). این وضعیت با قضیه زیر روشن می‌شود، که در اینجا نقشی مشابه با بخش: تصویرهای عمودی ، قضیه ۳ ایفا می‌کند، یعنی تطابق چندین مفهوم به ظاهر متفاوت در مورد تصویرها را برقرار می‌سازد، که برخی از آن‌ها به صورت جبری تعریف شده‌اند در حالی که برخی دیگر به اشیاء هندسی زیربنایی اشاره دارند.

قضیه ۲. برای تصویرهای عمودی $E = P_{ℳ}$ و $F = P_{𝒩}$ شرایط زیر معادل یکدیگرند. $برای همه$

اثبات. روابط استلزامی زیر را اثبات خواهیم کرد

(i) $⟹$ (ii) $⟹$ (iii) $⟹$ (iv, a) $⟹$ (iv, b) $⟹$ (i).

(i) $⟹$ (ii). اگر $E \leq F$ ، آنگاه، برای همه $x$ ها، $0 \leq ([F - E] x, x) = (F x, x) - (E x, x) = ‖ F x ‖^{2} - ‖ E x ‖^{2}$ (زیرا $E$ و $F$ تصویرهای عمودی هستند).

(ii) $⟹$ (iii). فرض می‌کنیم که $‖ E x ‖ \leq ‖ F x ‖$ برای همه $x$ ها. اکنون هر $x$ در $ℳ$ را در نظر می‌گیریم؛ آنگاه داریم $‖ x ‖ \geq ‖ F x ‖ \geq ‖ E x ‖ = ‖ x ‖,$ به طوری که $‖ F x ‖ = ‖ x ‖$ ، یا $(x, x) - (F x, x) = 0$ ، که از آن نتیجه می‌شود $([1 - F] x, x) = ‖ (1 - F) x ‖^{2} = 0,$ و در نتیجه $x = F x$ . به عبارت دیگر، $x$ در $ℳ$ ایجاب می‌کند که $x$ در $𝒩$ باشد، همان‌طور که قرار بود اثبات شود.

(iii) $⟹$ (iv, a). اگر $ℳ \subset 𝒩$ ، آنگاه $E x$ در $𝒩$ است برای همه $x$ ها، به طوری که، $F E x = E x$ برای همه $x$ ها، همان‌طور که قرار بود اثبات شود.

اینکه (iv, a) مستلزم (iv, b) است، و در واقع با آن معادل است، با گرفتن الحاقی‌ها نتیجه می‌شود.

(iv) $⟹$ (i). اگر $E F = F E = E$ ، آنگاه، برای همه $x$ ها، $(F x, x) - (E x, x) = (F x, x) - (F E x, x) = (F [1 - E] x, x)$ از آنجا که $E$ و $F$ تصویرهای جابجایی‌پذیر هستند، $(1 - E)$ و $F$ نیز چنین‌اند، و در نتیجه $G = F (1 - E)$ یک تصویر است. از این رو $(F x, x) - (E x, x) = (G x, x) = ‖ G x ‖^{2} \geq 0.$ این اثبات قضیه ۲ را کامل می‌کند. ◻

بر حسب مفاهیمی که تاکنون معرفی شده‌اند، می‌توان فرمول‌بندی کاملاً شهودی از قضیه بخش: ترکیبات تصویرها (تا جایی که به تصویرهای عمودی مربوط می‌شود) ارائه داد، به شرح زیر. برای دو تصویر عمودی $E$ و $F$ ، جمع، حاصل‌ضرب، یا تفاضل آن‌ها نیز یک تصویر عمودی است اگر و تنها اگر $F$ به ترتیب متعامد بر، جابجایی‌پذیر با، یا بزرگتر از $E$ باشد.

تمرین‌ها

تمرین ۱.

مثالی از یک تصویر بیاورید که تصویر عمودی نباشد.
مثالی از دو تصویر $E$ و $F$ بیاورید (آن‌ها نمی‌توانند هر دو عمودی باشند) به طوری که $E F = 0$ و $F E \neq 0$ .

تمرین ۲. تصویر (عمودی) $(1, 1, 1)$ را روی زیرفضای (یک‌بعدی) از $ℂ^{3}$ که توسط $(1, - 1, 1)$ تولید شده است بیابید. (به عبارت دیگر: تصویر بردار داده شده را تحت تصویر روی زیرفضای داده شده بیابید.)

تمرین ۳. ماتریس‌های تمام تصویرهای عمودی روی $ℂ^{2}$ را بیابید.

تمرین ۴. اگر $U = 2 E - 1$ ، آنگاه شرط لازم و کافی برای اینکه $U$ یک ایزومتری خودتوان باشد این است که $E$ یک تصویر عمودی باشد.

تمرین ۵. یک تبدیل خطی $U$ یک ایزومتری جزئی نامیده می‌شود اگر زیرفضایی مانند $ℳ$ وجود داشته باشد به طوری که $‖ U x ‖ = ‖ x ‖$ هرگاه $x$ در $ℳ$ باشد و $U x = 0$ هرگاه $x$ در $ℳ^{⟂}$ باشد.

الحاقی یک ایزومتری جزئی، یک ایزومتری جزئی است.
اگر $U$ یک ایزومتری جزئی باشد و اگر $ℳ$ زیرفضایی باشد به طوری که $‖ U x ‖ = ‖ x ‖$ یا $0$ بسته به اینکه $x$ در $ℳ$ باشد یا در $ℳ^{⟂}$ ، آنگاه $U^{*} U$ تصویر عمودی روی $ℳ$ است.
هر یک از چهار شرط زیر لازم و کافی است تا یک تبدیل خطی U یک ایزومتری جزئی باشد.
1. $U U^{*} U = U$ ،
2. $U^{*} U$ یک تصویر است،
3. $U^{*} U U^{*} = U^{*}$ ،
4. $U U^{*}$ یک تصویر است.
اگر $λ$ یک مقدار ویژه یک ایزومتری جزئی باشد، آنگاه $| λ | \leq 1$ .
مثالی از یک ایزومتری جزئی بیاورید که $\frac{1}{2}$ را به عنوان یک مقدار ویژه داشته باشد.

تمرین ۶. فرض کنید $A$ یک تبدیل خطی روی، و $ℳ$ زیرفضایی از، یک فضای برداری متناهی‌بعد $𝒱$ باشد. اثبات کنید که اگر $\dim ℳ \leq \dim ℳ^{⟂}$ ، آنگاه تبدیلات خطی $B$ و $C$ روی $𝒱$ وجود دارند به طوری که $A x = (B C - C B) x$ برای همه $x$ ها در $ℳ$ . (راهنمایی: فرض کنید $B$ یک ایزومتری جزئی باشد به طوری که $‖ B x ‖ = ‖ x ‖$ یا $0$ بسته به اینکه $x$ در $ℳ$ باشد یا در $ℳ^{⟂}$ و به طوری که $ℛ (B) \subset ℳ^{⟂}$ .)