معادلهها

ساده‌ترین راه برای حل هر معادله‌ای - به جز معادلات خطی یا درجه دوم - روش آزمون و خطا است.

الف. درون‌یابی

برای حل $\frac{1}{1 + x^{2}} = 2 x$

فرض کنید:

x	سمت چپ	سمت راست	اختلاف
0	1	0	1	} 2.5
1	.5	2	-1.5
.4	.862	.8	.062
.5	….	….	….

توضیح

این سند نحوه حل معادله $1 / (1 + x ²) = 2 x$ را با استفاده از یک روش عددی آزمون و خطا، که اغلب درون‌یابی نامیده می‌شود، توضیح می‌دهد. برای یافتن جواب، جدولی ایجاد می‌کنیم تا سمت چپ (LHS) و سمت راست (RHS) معادله را مقایسه کنیم، با هدف یافتن مقدار $x$ که در آن اختلاف (DIFF) صفر است. ابتدا x=0 را آزمایش می‌کنیم که اختلاف +1 می‌دهد، و سپس x=1 را که اختلاف -1.5 می‌دهد. از آنجا که علامت اختلاف بین این دو نقطه تغییر می‌کند، می‌دانیم که جواب باید بین 0 و 1 باشد. چون قدر مطلق اختلاف برای x=0 (که 1 است) کمتر از اختلاف برای x=1 (که 1.5 است) است، می‌توانیم حدس بزنیم که جواب به x=0 نزدیک‌تر است، که ما را به حدس سوم x=0.4 سوق می‌دهد. این آزمایش اختلاف مثبت بسیار کوچکی برابر +0.062 به دست می‌دهد. با اختلاف مثبت در x=0.4 و اختلاف منفی در x=1، نتیجه می‌گیریم که جواب بین 0.4 و 1 است. با این حال، از آنجا که اختلاف برای x=0.4 بسیار کوچک است، حدس می‌زنیم که جواب بسیار به 0.4 نزدیک‌تر است، بنابراین حدس چهارم ما x=0.5 است تا فاصله را بیشتر محدود کرده و پاسخ دقیق را مشخص کنیم.

ب. تکرار

معادله را برای $x$ حل کنید: $x = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 + x^{2}})$

x آزمایشی $x$	x نتیجه $x$
0	$\to .5$
.5	$\to .4$
.4	$\to .431$
…	…

توضیح

این مثال تکنیک عددی قدرتمند دیگری را نشان می‌دهد که به نام تکرار نقطه ثابت شناخته می‌شود، برای حل یک معادله. توجه کنید که این همان معادله مثال قبلی است (1 / (1 + x²) = 2x)، فقط بازچینی شده تا x در یک سمت جدا شود: $x = \frac{1}{2} \frac{1}{1 + x^{2}}$ ایده اصلی این روش یافتن مقداری برای x (یک «نقطه ثابت») است که وقتی آن را در عبارت سمت راست قرار می‌دهیم بدون تغییر باقی بماند. ما این کار را با شروع از یک حدس اولیه و سپس تغذیه مکرر نتیجه به معادله انجام می‌دهیم تا زمانی که اعداد به طور قابل توجهی تغییر نکنند.

در اینجا تجزیه گام‌به‌گام فرآیند نشان داده شده است:

حدس اولیه (آزمایش 1): با حدس اولیه x آزمایشی = 0 شروع می‌کنیم. این را در سمت راست معادله قرار می‌دهیم:
- نتیجه = 1/2 * (1 / (1 + 0²)) = 1/2 * (1) = 0.5 این نتیجه، 0.5، به مقدار آزمایشی بعدی ما تبدیل می‌شود.
اولین تکرار (آزمایش 2): حال، از این نتیجه به عنوان x آزمایشی = 0.5 جدید خود استفاده می‌کنیم:
- نتیجه = 1/2 * (1 / (1 + 0.5²)) = 1/2 * (1 / 1.25) = 0.5 * 0.8 = 0.4
دومین تکرار (آزمایش 3): فرآیند را با x آزمایشی = 0.4 تکرار می‌کنیم:
- نتیجه = 1/2 * (1 / (1 + 0.4²)) = 1/2 * (1 / 1.16) ≈ 0.5 * 0.862 = 0.431

فرآیند به این ترتیب ادامه می‌یابد. در مرحله بعد از 0.431 به عنوان x آزمایشی خود استفاده کرده و نتیجه جدیدی محاسبه می‌کنیم. با هر مرحله، «x آزمایشی» و «x نتیجه» به یکدیگر نزدیک‌تر می‌شوند. جواب زمانی پیدا می‌شود که مقدار ورودی همان مقدار خروجی باشد (یعنی زمانی که دنباله همگرا شود).

اگر معادله به شکل $x = \sqrt{\frac{1}{2 x} - 1}$ حل شود، با این حال، نتایج واگرا می‌شوند. اگر نتایج واگرا شوند، حل معادله به صورت معکوس باعث همگرایی آن‌ها می‌شود.

ج. روش نیوتن

معادله را به شکل $f (x) = 0$ حل کنید. فرض کنید $x_{1}$ اولین آزمایش باشد، سپس آزمایش دوم با رابطه داده می‌شود. این روش معادل برون‌یابی به عقب در امتداد مماس است. اگر منحنی پر از نوسان باشد، ممکن است نتایج واگرا شوند.

یک نمودار منحنی f(x) را نشان می‌دهد که محور x را قطع می‌کند. یک مماس در نقطه x₁ رسم شده است که محور x را در x₂ قطع می‌کند و روش نیوتن را نشان می‌دهد. — روش نیوتن

[بیایید به مثال قبلی برگردیم]

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - 2 x = 0$

x	f(x)	f’(x)
0	1	-2
.5	.2	….
…	….	….

توضیح

جدول فرآیند گام‌به‌گام اعمال روش را نشان می‌دهد.

حدس اول: با یک حدس اولیه ساده شروع می‌کنید: x₁ = 0.
قرار دادن حدس: در x=0، مقادیر تابع و مشتق آن را محاسبه می‌کنید:
- f(0) = 1/(1+0²) - 2(0) = 1
- f’(0) = -2(0)/(1+0²)² - 2 = -2
محاسبه حدس بعدی (x₂): حال، از فرمول روش نیوتن استفاده می‌کنید:
- مرحله بعد (ردیف 2): حدس جدید و بهبود یافته شما x₂ = 0.5 است. ردیف دوم جدول از این مقدار برای محاسبه f(0.5) و f’(0.5) استفاده می‌کند تا حدس حتی بهتری، x₃، پیدا کند. این فرآیند ادامه می‌یابد تا زمانی که f(x) بسیار نزدیک به صفر شود.

مسئله: اولین ریشه مثبت $e^{- x} = \cos x$ را با هر سه روش تا 2 رقم اعشار پیدا کنید. ریشه‌های بالاتر را تخمین بزنید.